Resolva:
(e^t sen x - 2 x sen t) + (e^t cos x + 2 cos t) x' = 0

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial dada:
Esse exercício envolve o conteúdo de Equações Diferenciais de Primeira Ordem, especificamente Equações Exatas. Para resolver, vamos precisar verificar se a equação é exata e, se for, encontrar uma função potencial que nos permitirá determinar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão:
onde:
Para que a equação seja exata, a derivada parcial de em relação a deve ser igual à derivada parcial de em relação a .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais:
Como:
a equação é exata.

Passo 4

Como a equação é exata, existe uma função tal que:
Integrando em relação a :
Aqui, é uma função de que surge da integração.

Passo 5

Agora, vamos encontrar usando :
Isso implica que:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante arbitrária.

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