Resolva:
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial dada:
Esse exercício envolve o conteúdo de Equações Diferenciais de Primeira Ordem, especificamente Equações Exatas. Para resolver, vamos precisar verificar se a equação é exata e, se for, encontrar uma função potencial que nos permitirá determinar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão:
onde:
Para que a equação seja exata, a derivada parcial de
em relação a
deve ser igual à derivada parcial de
em relação a
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais:
Como:
a equação é exata.
Passo 4
Como a equação é exata, existe uma função
tal que:
Integrando
em relação a
:
Aqui,
é uma função de
que surge da integração.
Passo 5
Agora, vamos encontrar
usando
:
Isso implica que:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante arbitrária.