Uma equção que é frequentemente usada para modelar o crescimento de tumores cancerígenos é a equação de Bertalanffy
dV/dt = a V^(2/3) - b V
onde a e b são constantes positivas. Esse modelo assume que o tumor cresce a uma taxa proporcional a área da superfície, enquanto a perca de massa de tumor devido a morte de células é proporcional ao volume do tumor. Esboce o gráfico de f(V) versus V, encontre os pontos críticos e determine a estabilidade desses pontos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você me enviou fala sobre uma equação que modela o crescimento de tumores cancerígenos. A gente vai usar a Equação de Bertalanffy, que é uma equação diferencial. Precisamos esboçar o gráfico de em função de , encontrar os pontos críticos e determinar se esses pontos são estáveis ou não. Para isso, vamos precisar entender de equações diferenciais e análise de estabilidade.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que está na equação dada. A equação de Bertalanffy é:
Aqui, representa a taxa de variação do volume do tumor ao longo do tempo. Vamos chamar:
Então, o que a gente precisa fazer é esboçar o gráfico dessa função em relação a .

Passo 3

Agora, vamos esboçar o gráfico de versus . Para isso, analisamos os dois termos da função:
  1. Crescimento proporcional à área da superfície:
  2. Perda de massa proporcional ao volume:
Quando é pequeno, o termo domina, fazendo positivo. À medida que aumenta, o termo começa a dominar, fazendo negativo. O ponto onde os dois termos se igualam é onde .

Passo 4

Vamos encontrar os pontos críticos resolvendo :
Podemos fatorar :
Isso nos dá duas soluções:
Então, temos dois pontos críticos: e .

Passo 5

Agora, vamos determinar a estabilidade desses pontos críticos. Para isso, analisamos a derivada de em relação a :
Vamos avaliar nos pontos críticos:
  1. No ponto :
    • tende ao infinito positivo.
    • Então, .
    • Como , o ponto é instável.
  2. No ponto :
    • Substituindo na derivada:
    • Como , o ponto é estável.

Resposta

Os pontos críticos da função são (instável) e (estável).

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