Uma equção que é frequentemente usada para modelar o crescimento de tumores cancerígenos é a equação de Bertalanffy
onde a e b são constantes positivas. Esse modelo assume que o tumor cresce a uma taxa proporcional a área da superfície, enquanto a perca de massa de tumor devido a morte de células é proporcional ao volume do tumor. Esboce o gráfico de
versus
, encontre os pontos críticos e determine a estabilidade desses pontos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que você me enviou fala sobre uma equação que modela o crescimento de tumores cancerígenos. A gente vai usar a Equação de Bertalanffy, que é uma equação diferencial. Precisamos esboçar o gráfico de
em função de
, encontrar os pontos críticos e determinar se esses pontos são estáveis ou não. Para isso, vamos precisar entender de equações diferenciais e análise de estabilidade.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função
que está na equação dada. A equação de Bertalanffy é:
Aqui,
representa a taxa de variação do volume do tumor ao longo do tempo. Vamos chamar:
Então, o que a gente precisa fazer é esboçar o gráfico dessa função
em relação a
.
Passo 3
Agora, vamos esboçar o gráfico de
versus
. Para isso, analisamos os dois termos da função:
- Crescimento proporcional à área da superfície:
- Perda de massa proporcional ao volume:
Quando
é pequeno, o termo
domina, fazendo
positivo. À medida que
aumenta, o termo
começa a dominar, fazendo
negativo. O ponto onde os dois termos se igualam é onde
.
Passo 4
Vamos encontrar os pontos críticos resolvendo
:
Podemos fatorar
:
Isso nos dá duas soluções:
-
⇒ -
⇒ ⇒
Então, temos dois pontos críticos:
e
.
Passo 5
Agora, vamos determinar a estabilidade desses pontos críticos. Para isso, analisamos a derivada de
em relação a
:
Vamos avaliar
nos pontos críticos:
-
No ponto
: -
tende ao infinito positivo. - Então,
. - Como
, o ponto é instável.
-
-
No ponto
: -
Substituindo na derivada:
-
Como
, o ponto é estável.
-
Resposta
Os pontos críticos da função
são
(instável) e
(estável).