Resolva os problemas de valor inicial. Classifique as equações.
y' = 2t / (y + yt^2), y(2) = 3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me deu uma equação diferencial com uma condição inicial:
Vamos resolver esse problema de valor inicial. A matéria que vamos usar aqui é Equações Diferenciais, especificamente resolução de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem. Precisamos identificar o tipo de equação e aplicar o método adequado para resolvê-la.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação dada:
Podemos fatorar o no denominador:
Então, a equação fica:

Passo 3

Agora, vamos verificar se a equação é separável. Uma equação é separável se podemos escrever na forma . No nosso caso:
Podemos reescrever isso como:
Então, a equação é separável.

Passo 4

Vamos integrar ambos os lados para encontrar a solução geral. Primeiro, integramos o lado esquerdo em relação a :
A integral do lado esquerdo é:

Passo 5

Agora, vamos integrar o lado direito. Observe que:
Fazendo a substituição , então . Assim:

Passo 6

Agora, igualamos as integrais dos dois lados:
Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:

Passo 7

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar a constante :

Passo 8

Substituímos o valor de de volta na equação geral:
Para simplificar, podemos escrever:

Resposta

A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é:

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