Resolva os problemas de valor inicial. Classifique as equações.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me deu uma equação diferencial com uma condição inicial:
Vamos resolver esse problema de valor inicial. A matéria que vamos usar aqui é Equações Diferenciais, especificamente resolução de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem. Precisamos identificar o tipo de equação e aplicar o método adequado para resolvê-la.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação dada:
Podemos fatorar o
no denominador:
Então, a equação fica:
Passo 3
Agora, vamos verificar se a equação é separável. Uma equação é separável se podemos escrever na forma
. No nosso caso:
Podemos reescrever isso como:
Então, a equação é separável.
Passo 4
Vamos integrar ambos os lados para encontrar a solução geral. Primeiro, integramos o lado esquerdo em relação a
:
A integral do lado esquerdo é:
Passo 5
Agora, vamos integrar o lado direito. Observe que:
Fazendo a substituição
, então
. Assim:
Passo 6
Agora, igualamos as integrais dos dois lados:
Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
Passo 7
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar a constante
:
Passo 8
Substituímos o valor de
de volta na equação geral:
Para simplificar, podemos escrever:
Resposta
A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é: