Resolver as equaçōes abaixo, usando uma conveniente mudança de coordenadas:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado que temos é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial que envolve as variáveis e . Para resolver isso, vamos usar uma mudança de coordenadas que vai simplificar a equação. Vamos precisar lembrar de algumas regras de álgebra e cálculo diferencial para seguir em frente.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação para facilitar a visualização. Vamos trazer todos os termos para o lado esquerdo da equação:
Agora, podemos fatorar e :

Passo 3

Observando a equação, vemos que podemos simplificar usando a regra do produto. Vamos tentar reescrever a equação de uma forma que possamos identificar uma derivada total.
Perceba que:
Isso significa que a expressão pode ser escrita como a derivada de em relação a .

Passo 4

Usando essa observação, reescrevemos a equação:
Isso simplifica a equação para uma forma que podemos integrar facilmente.

Passo 5

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A integração vai nos dar uma relação entre e .
Integrando, temos:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Para resolver a integral , fazemos uma substituição simples. Basta reconhecer que a integral de em relação a é .
Então:

Passo 7

Substituindo de volta na equação integrada:
Agora, somamos em ambos os lados para isolar a constante:

Passo 8

Finalmente, podemos escrever a solução geral da equação diferencial:
Onde é uma constante que depende das condições iniciais.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados

(Com o objetivo de auxiliar os maricultores a aumentar a produção de ostras e mexilhões, um engenheiro de aquicultura fez um estudo sobre a temperatura da água em Florianópolis, na região do sul da ilha. Para isso, efetuou medições durante três dias consecutivos, em intervalos de 1 hora. As medições iniciaram às 5 horas da manhã no primeiro dia e os dados foram representados pela função periódica:)
$$
T(t)=24+3 \cos \left(\frac{\pi t}{6}+\frac{\pi}{3}\right)$$
Qual o valor da temperatura máxima e o horário em que ocorreu essa temperatura no primeiro dia de observação?
Resolva as equaçōes:
(Com o objetivo de auxiliar os maricultores a aumentar a produção de ostras e mexilhões, um engenheiro de aquicultura fez um estudo sobre a temperatura da água em Florianópolis, na região do sul da ilha. Para isso, efetuou medições durante três dias consecutivos, em intervalos de 1 hora. As medições iniciaram às 5 horas da manhã no primeiro dia e os dados foram representados pela função periódica:)
$$
T(t)=24+3 \cos \left(\frac{\pi t}{6}+\frac{\pi}{3}\right)$$
Tal modelo adotado é adequado para o estudo? Justifique sua resposta.
(Uma lata cilíndrica de ter o volume de . O preço do material usado para o fundo e a tampa é de por centímetro quadrado e o preço para o material usado para o lado é de por centímetro quadrado.)
Qual é o custo da lata se o raio da base é de 2 cm?