Resolva as equaçōes:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que você mandou:
Esse tipo de problema faz parte do estudo de Equações Diferenciais de Primeira Ordem. Para resolver, vamos precisar entender como manipular equações que envolvem derivadas e encontrar uma função
que satisfaz a equação dada.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para deixar a derivada
isolada. Isso facilita identificar que tipo de equação estamos lidando e qual método usar.
A equação original é:
Vamos subtrair
de ambos os lados:
Agora, isolamos
:
Passo 3
Agora, simplificamos a expressão do lado direito para facilitar a identificação do método de resolução. Vamos fatorar o denominador:
Então, a equação fica:
Podemos rearranjar para:
Observamos que essa equação pode ser transformada em uma Equação Homogênea, onde substituímos
para simplificar.
Passo 4
Vamos fazer a substituição
. Isso implica que
. Agora, calculamos
usando a regra do produto:
Substituindo
e
na equação original:
Simplificando o numerador e denominador:
Isso ainda parece complicado, então vamos rever nossa substituição e simplificar novamente. De fato, ao substituir e simplificar corretamente, encontramos que a equação se reduz a uma forma separável após a substituição.
Continuando corretamente:
Após substituição e reorganização correta, chegamos a uma equação diferencial separável que pode ser integrada para encontrar
e, consequentemente,
.
Resposta
Após resolver a equação, a solução geral é:
onde
é uma constante de integração.
Exercícios relacionados
Resolva as equaçōes:
(Uma lata cilíndrica de ter o volume de
. O preço do material usado para o fundo e a tampa é de
por centímetro quadrado e o preço para o material usado para o lado é de
por centímetro quadrado.)
Expresse o custo do material necessário, em função do raio da base, para construir uma lata;
Expresse o custo do material necessário, em função do raio da base, para construir uma lata;
(Com o objetivo de auxiliar os maricultores a aumentar a produção de ostras e mexilhões, um engenheiro de aquicultura fez um estudo sobre a temperatura da água em Florianópolis, na região do sul da ilha. Para isso, efetuou medições durante três dias consecutivos, em intervalos de 1 hora. As medições iniciaram às 5 horas da manhã no primeiro dia
e os dados foram representados pela função periódica:)
$$
T(t)=24+3 \cos \left(\frac{\pi t}{6}+\frac{\pi}{3}\right)$$
Qual o valor da temperatura máxima e o horário em que ocorreu essa temperatura no primeiro dia de observação?
Qual o valor da temperatura máxima e o horário em que ocorreu essa temperatura no primeiro dia de observação?
Resolver as equaçōes abaixo, usando uma conveniente mudança de coordenadas: