Resolver os exercícios 7,9,15,19,25, do livro de Cálculo volume 1,6 edição de James Stewart da seção 4.4, página 284. Encontre o limite. Use a Regra de L(9) lim x (pi / 2)^+ cos (x)1-sen(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para encontrar o limite da função quando se aproxima de pela direita ( ). A matéria que vamos usar aqui é o Cálculo de Limites, especificamente a Regra de L’Hôpital, que é usada para resolver limites que resultam em formas indeterminadas como ou .

Passo 2

Primeiro, vamos substituir cos(pi2) = 0 diretamente na função para ver se conseguimos identificar a forma do limite:
1 - sin(pi2) = 1 - 1 = 0
Então, temos uma forma , que é uma indeterminação. Isso significa que podemos aplicar a Regra de L’Hôpital para resolver o limite.

Passo 3

A Regra de L’Hôpital diz que se limx to c f(x)g(x) = limx to c f'(x)g'(x) resulta em ou , então:
Vamos aplicar essa regra derivando o numerador e o denominador separadamente.

Passo 4

Derivando o numerador ddx [cos(x)] = -sin(x) :
ddx [1 - sin(x)] = -cos(x)
Derivando o denominador limx (pi2)^+ -sin(x)-cos(x) = limx (pi2)^+ sin(x)cos(x) = limx (pi2)^+ tan(x) :
Agora, o limite fica:

Passo 5

Agora, precisamos avaliar .
Sabemos que . Quando se aproxima de pela direita ( ):
  • se aproxima de 1.
  • se aproxima de 0, mas pelo lado negativo, já que é 0 e logo após , o cosseno é negativo.
Então, estará se aproximando de ú, o que significa que tende a .

Resposta

lim x (pi2)^+ cos(x)1 - sin(x) = -infty

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(11) F(t) = ln((2*t + 1)^(3) / (3*t - 1)^(4))
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(7) f(x) = raiz(ln(x), 5)