Resolver os exercícios 5 e 7 do livro de Cálculo volume 1, 6 adição de James Stewart da seção 2.7, página 136. Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto dado:
(7) ,
Respostas 7.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício 7 da seção 2.7 do livro de Cálculo do James Stewart. A gente precisa encontrar a equação da reta tangente à curva em um ponto específico. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma reta tangente. A reta tangente a uma curva em um ponto toca a curva exatamente nesse ponto e tem a mesma inclinação que a curva naquele ponto. Então, para encontrar a equação da reta tangente, precisamos de dois elementos:
O coordenada do ponto onde a reta tangente toca a curva.
A inclinação (coeficiente angular) da reta tangente nesse ponto.
Passo 3
Vamos supor que o ponto dado seja . Então, para encontrar a coordenada , substituímos na equação da curva:
Portanto, o ponto de tangência é .
Passo 4
Agora, precisamos encontrar a inclinação da reta tangente nesse ponto. Para isso, calculamos a derivada da função , que nos dá a taxa de variação de em relação a .
A derivada de é:
Essa derivada representa a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva.
Passo 5
Vamos calcular a inclinação no ponto :
Então, a inclinação da reta tangente nesse ponto é .
Passo 6
Com a inclinação e o ponto , podemos usar a fórmula da equação da reta: