Resolver as seguintes equações diferenciais exatas:
e (x^2 + 2 x y sen(x) + y^2 e^y) dx + (2 x sen(x) + 2 y x e^y) dy = 0

Passo 1

Resumo do Problema e Conteúdo da Matéria
Estamos lidando com uma equação diferencial exata. O enunciado nos dá a seguinte equação:
Para resolver essa equação, vamos precisar entender o que é uma equação diferencial exata e como identificar e resolver uma. Basicamente, uma equação diferencial exata permite encontrar uma função potencial cuja derivada total nos dá a equação original. Vamos verificar se a equação é exata e, se for, encontrar essa função .

Passo 2

Verificando se a Equação é Exata
Primeiro, identificamos as partes e da equação diferencial, onde:
Para verificar se a equação é exata, precisamos conferir se:
Vamos calcular essas derivadas parciais.
Calculando :
Calculando :
Comparando as Derivadas:
Vamos ver se :
Observamos que as duas expressões não são iguais. Portanto, a equação não é exata inicialmente.

Passo 3

Tornando a Equação Exata
Quando a equação não é exata, podemos tentar encontrar um fator integrante que a torne exata. Um fator integrante é uma função que, quando multiplicada por toda a equação, resulta em uma equação exata.
Vamos tentar encontrar um fator integrante que depende apenas de ou apenas de . Para simplificar, vamos supor que depende apenas de .
A condição para que a equação multiplicada por seja exata é:
Vamos calcular:
Primeiro, calculamos :
Essa expressão ainda é complexa, então parece que um fator integrante que depende apenas de ou não simplifica a equação. Portanto, podemos concluir que, para este caso, a equação não é exata e não conseguimos encontrar um fator integrante simples para torná-la exata.

Passo 4

Conclusão da Análise
Após verificar e tentar encontrar um fator integrante, percebemos que a equação fornecida não é exata e não conseguimos torná-la exata de maneira simples. Portanto, sem informações adicionais ou um fator integrante mais complexo, não podemos resolver essa equação diferencial exata utilizando os métodos tradicionais.

Resposta

A equação diferencial fornecida não é exata e, sem um fator integrante apropriado, não é possível resolvê-la usando os métodos de equações diferenciais exatas.

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