Resolver as seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem:
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial linear de primeira ordem:
. Vamos usar o método do fator integrante, que é um jeito de simplificar esse tipo de equação para achar a solução.
Passo 2
Primeiro, identificamos os coeficientes da equação. Aqui,
e
. O método do fator integrante usa a fórmula
.
Passo 3
Calculamos o fator integrante:
Esse fator vai ajudar a transformar a equação numa forma mais fácil de integrar.
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Simplificando o lado direito:
Passo 5
Percebemos que o lado esquerdo é a derivada do produto
. Ou seja:
Agora, podemos integrar ambos os lados em relação a
.
Passo 6
Integrando:
O lado esquerdo simplifica para
, e o lado direito integra para
, onde
é a constante de integração.
Passo 7
Então, temos:
Para isolar
, dividimos tudo por
:
Resposta
A solução geral da equação é:
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Considere o campo vetorial
(b) Justifique porque, apesar do resultado do item anterior, não podemos concluir que o campo
é conservativo;