Resolver as seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem:
y' + 2y = e^x

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial linear de primeira ordem: . Vamos usar o método do fator integrante, que é um jeito de simplificar esse tipo de equação para achar a solução.

Passo 2

Primeiro, identificamos os coeficientes da equação. Aqui, e . O método do fator integrante usa a fórmula .

Passo 3

Calculamos o fator integrante:
Esse fator vai ajudar a transformar a equação numa forma mais fácil de integrar.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Simplificando o lado direito:

Passo 5

Percebemos que o lado esquerdo é a derivada do produto . Ou seja:
Agora, podemos integrar ambos os lados em relação a .

Passo 6

Integrando:
O lado esquerdo simplifica para , e o lado direito integra para , onde é a constante de integração.

Passo 7

Então, temos:
Para isolar , dividimos tudo por :

Resposta

A solução geral da equação é:

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Resolver as seguintes equações diferenciais exatas:
e (x^2 + 2 x y sen(x) + y^2 e^y) dx + (2 x sen(x) + 2 y x e^y) dy = 0
Resolver as seguintes equações diferenciais exatas:
d(y ln(x) + x^2 y^3) dx + (ln(x) + x^3 y^2) dy = 0
Resolver as seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem:
y' - 3y = sen(x)
Considere o campo vetorial
F(x, y, z) = (1/x + y*z, x*z + z*exp(y) + 1, x*y + exp(y) - 2*z)
(b) Justifique porque, apesar do resultado do item anterior, não podemos concluir que o campo F é conservativo;