Resolver as seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem:
y' - 3y = sen(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Esse tipo de equação é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante. Esse método nos ajuda a encontrar uma solução geral para equações lineares como essa.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os componentes da nossa equação. Ela está na forma padrão:
No nosso caso, e .

Passo 3

Agora, vamos calcular o fator integrante . Ele é dado por:
Substituindo :

Passo 4

Com o fator integrante calculado, multiplicamos toda a equação original por :
Isso simplifica a equação para:

Passo 5

Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a :
O lado esquerdo simplifica para:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Vamos calcular a integral . Para isso, usamos a fórmula da integral de :
No nosso caso, e :

Passo 7

Voltando à nossa equação:
Agora, multiplicamos ambos os lados por para resolver para :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados

Resolver as seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem:
y' + 2y = e^x
Resolver as seguintes equações diferenciais exatas:
e (x^2 + 2 x y sen(x) + y^2 e^y) dx + (2 x sen(x) + 2 y x e^y) dy = 0
Considere o campo vetorial
F(x, y, z) = (1/x + y*z, x*z + z*exp(y) + 1, x*y + exp(y) - 2*z)
(b) Justifique porque, apesar do resultado do item anterior, não podemos concluir que o campo F é conservativo;
Considere as superfícies:
S1: A parte da esfera x^2 + y^2 + z^2 = 4 com y <= 0
S2: O cilindro elíptico x^2 + 4y^2 = 1 com z em R;
S3 : A parte da sela z - x^2 + y^2 = 0 que está dentro do cilindro x^2 + y^2 = 9;
S4 : A parte do plano 2 x + y + z = 2 que está no primeiro octante (x, y, z ≥ 0);
© Determine a equação do plano tangente à S3 (sela) no ponto 2, 1, 3.