Resolver as seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Esse tipo de equação é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante. Esse método nos ajuda a encontrar uma solução geral para equações lineares como essa.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os componentes da nossa equação. Ela está na forma padrão:
No nosso caso,
e
.
Passo 3
Agora, vamos calcular o fator integrante
. Ele é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Com o fator integrante calculado, multiplicamos toda a equação original por
:
Isso simplifica a equação para:
Passo 5
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a
:
O lado esquerdo simplifica para:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Vamos calcular a integral
. Para isso, usamos a fórmula da integral de
:
No nosso caso,
e
:
Passo 7
Voltando à nossa equação:
Agora, multiplicamos ambos os lados por
para resolver para
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
Resolver as seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem:
Resolver as seguintes equações diferenciais exatas:
Considere o campo vetorial
(b) Justifique porque, apesar do resultado do item anterior, não podemos concluir que o campo
é conservativo;
Considere as superfícies:
A parte da esfera
com
O cilindro elíptico
com
;
: A parte da sela
que está dentro do cilindro
;
: A parte do plano
que está no primeiro octante
;
© Determine a equação do plano tangente à (sela) no ponto
.
© Determine a equação do plano tangente à