Resolver as seguintes equações diferenciais exatas:
(b) (e^(x+y) + x^2 y^3) dx + (e^(x+y) + 3 x^3 y^2) dy = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial exata que tá assim:
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais exatas. Isso significa que a equação pode ser escrita na forma , e existe uma função tal que . Nosso objetivo é encontrar essa função e, finalmente, resolver para , onde é uma constante.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar e na nossa equação:
Para verificar se a equação é exata, precisamos checar se:

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
Percebemos que:
Então, na verdade, a equação não é exata diretamente. Isso significa que precisamos encontrar um fator integrante para torná-la exata.

Passo 4

Vamos tentar encontrar um fator integrante que dependa apenas de ou de . Para simplificar, suponhamos que o fator integrante dependa somente de .
O fator integrante satisfaz a condição:
Após alguns cálculos, descobrimos que o fator integrante é .

Passo 5

Multiplicando a equação original pelo fator integrante :
Simplificando:
Agora, a equação é exata.

Passo 6

Agora que a equação é exata, podemos encontrar a função tal que:
Integrando em relação a :
Onde é uma função de que aparece na integração.

Passo 7

Agora, calculamos e igualamos a para encontrar :
Após simplificar, encontramos que , então é uma constante.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante arbitrária.

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(a) (3 x^2 y + 2 x y^2 + sen(y)) dx + (x^3 + 2 x^2 y + x cos(y)) dy = 0
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