Resolver as seguintes equações diferenciais exatas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial exata que tá assim:
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais exatas. Isso significa que a equação pode ser escrita na forma
, e existe uma função
tal que
. Nosso objetivo é encontrar essa função
e, finalmente, resolver para
, onde
é uma constante.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar
e
na nossa equação:
Para verificar se a equação é exata, precisamos checar se:
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
Percebemos que:
Então, na verdade, a equação não é exata diretamente. Isso significa que precisamos encontrar um fator integrante para torná-la exata.
Passo 4
Vamos tentar encontrar um fator integrante que dependa apenas de
ou de
. Para simplificar, suponhamos que o fator integrante
dependa somente de
.
O fator integrante satisfaz a condição:
Após alguns cálculos, descobrimos que o fator integrante é
.
Passo 5
Multiplicando a equação original pelo fator integrante
:
Simplificando:
Agora, a equação é exata.
Passo 6
Agora que a equação é exata, podemos encontrar a função
tal que:
Integrando
em relação a
:
Onde
é uma função de
que aparece na integração.
Passo 7
Agora, calculamos
e igualamos a
para encontrar
:
Após simplificar, encontramos que
, então
é uma constante.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.
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