Resolver as seguintes equações diferenciais exatas:
Passo 1
Ok, vamos resolver essa equação diferencial exata que foi dada:
Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais exatas. Para resolver, precisamos verificar se a equação é exata e, se for, encontrar uma função potencial cuja derivada total nos dê a equação original.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções que multiplicam
e
:
Passo 3
Para verificar se a equação é exata, precisamos checar se as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
são iguais:
Como
, a equação é exata.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a função potencial
tal que:
Começamos integrando
em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
.
Passo 5
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Isso nos dá:
Passo 6
Integrando
, encontramos que
é uma constante, que podemos chamar de
.
Passo 7
Portanto, a função potencial fica:
Passo 8
Para encontrar a solução geral da equação diferencial, igualamos
a uma constante:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
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