Resolver as seguintes equações diferenciais homogêneas:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte equação diferencial:
Essa é uma equação diferencial homogênea. Isso significa que os termos em e têm o mesmo grau, o que nos permite usar uma substituição para simplificar e resolver a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para facilitar. Vamos definir:
Isso significa que . A ideia aqui é transformar a equação em termos de e , o que geralmente simplifica a resolução.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a . Usando a relação , derivamos ambos os lados em relação a :
Então, substituímos na equação original.
Passo 4
Vamos reescrever a equação original dividindo ambos os lados por :
Substituindo por e , temos:
Simplificando isso, vamos organizar os termos para isolar .
Passo 5
Após simplificar os termos, chegamos a uma equação que relaciona e . Nosso objetivo é separar as variáveis e para integrar ambos os lados. Fazendo isso, conseguimos a seguinte integral:
Passo 6
Agora, vamos resolver as integrais. A integral do lado esquerdo envolve uma expressão quadrática no denominador, que podemos resolver completando o quadrado ou usando frações parciais. A integral do lado direito é direta:
Onde é a constante de integração.
Passo 7
Resolvendo a integral do lado esquerdo, obtemos uma combinação de funções logarítmicas e arctangente após completar o quadrado no denominador. Portanto, a solução geral da equação diferencial é:
Lembrando que , podemos substituir de volta para obter a solução em termos de e .