Resolver as seguintes equações diferenciais homogêneas:
e (x^2 + x y) dx + (y^2 + x y) dy = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte equação diferencial:
Essa é uma equação diferencial homogênea. Isso significa que os termos em e têm o mesmo grau, o que nos permite usar uma substituição para simplificar e resolver a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para facilitar. Vamos definir:
Isso significa que . A ideia aqui é transformar a equação em termos de e , o que geralmente simplifica a resolução.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a . Usando a relação , derivamos ambos os lados em relação a :
Então, substituímos na equação original.

Passo 4

Vamos reescrever a equação original dividindo ambos os lados por :
Substituindo por e , temos:
Simplificando isso, vamos organizar os termos para isolar .

Passo 5

Após simplificar os termos, chegamos a uma equação que relaciona e . Nosso objetivo é separar as variáveis e para integrar ambos os lados. Fazendo isso, conseguimos a seguinte integral:

Passo 6

Agora, vamos resolver as integrais. A integral do lado esquerdo envolve uma expressão quadrática no denominador, que podemos resolver completando o quadrado ou usando frações parciais. A integral do lado direito é direta:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Resolvendo a integral do lado esquerdo, obtemos uma combinação de funções logarítmicas e arctangente após completar o quadrado no denominador. Portanto, a solução geral da equação diferencial é:
Lembrando que , podemos substituir de volta para obter a solução em termos de e .

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é a constante de integração.

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Resolver as seguintes equações diferenciais homogêneas:
d(x^2 - y^2) dx + 2xy dy = 0
Usando o teste da integral verifique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.
sumn=1^infty ln nn
Resolver as seguintes equações diferenciais exatas:
(a) (3 x^2 y + 2 x y^2 + sen(y)) dx + (x^3 + 2 x^2 y + x cos(y)) dy = 0
Resolver as seguintes equações diferenciais exatas:
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