Resolver as seguintes equações homogêneas
Passo 1
Então, a gente tem uma equação diferencial para resolver:
. Essa é uma equação homogênea de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar entender sobre equações homogêneas e usar uma substituição que simplifica a equação, facilitando a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a equação é realmente homogênea. Uma equação é homogênea se todos os termos puderem ser escritos em função de
. Olhando para a nossa equação:
Podemos reescrever o lado direito dividindo cada termo do numerador por
:
Aqui, vemos que tudo pode ser expresso em termos de
, confirmando que é uma equação homogênea.
Passo 3
Vamos fazer a substituição
, onde
é uma função de
. Isso significa que
. Agora, vamos derivar
em relação a
:
Substituindo
e
na equação original:
Simplificando os termos:
Passo 4
Agora, vamos reorganizar a equação para isolar
:
Isso nos dá uma equação diferencial para
em termos de
.
Passo 5
Observamos que a equação resultante pode ser rearranjada para separar as variáveis
e
. Vamos multiplicar ambos os lados por
:
Mas isso ainda não facilita muito. Outra abordagem é reconhecer que, após a substituição, temos uma equação que pode ser resolvida usando integração direta.
Passo 6
Vamos voltar à equação após a substituição e rearranjar para uma forma integrável:
Isso pode ser reescrito como:
Agora, podemos integrar ambos os lados:
Passo 7
Integrando o lado esquerdo:
E o lado direito:
Aqui, percebemos que a integração direta fica complicada. Precisamos reconsiderar nossa substituição ou método.
Passo 8
Vou ajustar a abordagem. A equação original após a substituição foi:
Rearranjando:
Para separar as variáveis, podemos reescrever como:
Dividindo ambos os lados por
:
Agora, a equação está separada e pronta para integração.
Passo 9
Vamos integrar ambos os lados:
Para o lado esquerdo, fazemos a substituição
, então
, ou seja,
. Assim:
Para o lado direito:
Passo 10
Igualando as integrais:
Multiplicando ambos os lados por 9:
Onde
.
Passo 11
Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Onde
é uma constante.
Passo 12
Lembrando que
, substituímos de volta:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 13
Podemos escrever a solução geral da equação como:
Onde
é uma constante arbitrária.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
, onde
é uma constante.
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.
Dar as soluções constantes das equações:
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Calcule os limites abaixo