Resolver as seguintes equações homogêneas y' = (x^3 + 4y^3) / (xy^2)

Passo 1

Então, a gente tem uma equação diferencial para resolver: . Essa é uma equação homogênea de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar entender sobre equações homogêneas e usar uma substituição que simplifica a equação, facilitando a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a equação é realmente homogênea. Uma equação é homogênea se todos os termos puderem ser escritos em função de . Olhando para a nossa equação:
Podemos reescrever o lado direito dividindo cada termo do numerador por :
Aqui, vemos que tudo pode ser expresso em termos de , confirmando que é uma equação homogênea.

Passo 3

Vamos fazer a substituição , onde é uma função de . Isso significa que . Agora, vamos derivar em relação a :
Substituindo e na equação original:
Simplificando os termos:

Passo 4

Agora, vamos reorganizar a equação para isolar :
Isso nos dá uma equação diferencial para em termos de .

Passo 5

Observamos que a equação resultante pode ser rearranjada para separar as variáveis e . Vamos multiplicar ambos os lados por :
Mas isso ainda não facilita muito. Outra abordagem é reconhecer que, após a substituição, temos uma equação que pode ser resolvida usando integração direta.

Passo 6

Vamos voltar à equação após a substituição e rearranjar para uma forma integrável:
Isso pode ser reescrito como:
Agora, podemos integrar ambos os lados:

Passo 7

Integrando o lado esquerdo:
E o lado direito:
Aqui, percebemos que a integração direta fica complicada. Precisamos reconsiderar nossa substituição ou método.

Passo 8

Vou ajustar a abordagem. A equação original após a substituição foi:
Rearranjando:
Para separar as variáveis, podemos reescrever como:
Dividindo ambos os lados por :
Agora, a equação está separada e pronta para integração.

Passo 9

Vamos integrar ambos os lados:
Para o lado esquerdo, fazemos a substituição , então , ou seja, . Assim:
Para o lado direito:

Passo 10

Igualando as integrais:
Multiplicando ambos os lados por 9:
Onde .

Passo 11

Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Onde é uma constante.

Passo 12

Lembrando que , substituímos de volta:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 13

Podemos escrever a solução geral da equação como:
Onde é uma constante arbitrária.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é , onde é uma constante.

Exercícios relacionados

Resolver as seguintes equações homogêneas x^3 y' = x^4 + 2 y^4 (xy != 0).
Dar as soluções constantes das equações: y' = sen(x) * x
Resolver as seguintes equações homogêneas y' = x e^(y / x) + y e^(y / x)
Calcule os limites abaixo
lim t 0(cos (t), e^t, t^3sen^3(t))