Calcule os limites abaixo
Passo 1
Beleza, então o enunciado pede para calcular o limite de um vetor quando
se aproxima de 0. O vetor é composto por três funções:
,
e . Vamos precisar usar conceitos de limites de funções básicas e algumas propriedades do cálculo de limites para resolver cada componente desse vetor.
Passo 2
Vamos começar calculando o primeiro limite:
.
Sabemos que a função cosseno é contínua em todo o seu domínio, o que significa que podemos simplesmente substituir
por 0 na função.
Então:
Passo 3
Agora, vamos para o segundo limite:
.
A função exponencial também é contínua em todo o domínio, então novamente podemos substituir
por 0 diretamente.
Então:
Passo 4
Finalmente, vamos calcular o terceiro limite: .
Aqui, temos uma expressão um pouco mais complicada. Para resolver isso, vamos lembrar que quando
se aproxima de 0, é aproximadamente igual a
. Isso é baseado na aproximação de primeira ordem da série de Taylor para , que é quando
está próximo de 0.
Então, podemos substituir por
:
Portanto:
Resposta
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Decida se as afirmações seguintes são verdadeiras ou falsas. Justifique aquelas que forem falsas com um contraexemplo.
Se existe, então
é contínua.
Se
Encontre um valor para a constante
, quando possível, para que a função seja contínua em
.