Responda os itens abaixo:
© Se
, qual a relação entre a integral de linha de
e as integrais de linha das componentes
?
© Se
Passo 1
Beleza, vamos entender qual é o problema aqui. Você quer saber como a integral de linha de um campo vetorial
se relaciona com as integrais de linha das suas componentes individuais
,
e
. Então, vamos precisar dos conceitos de integração de campos vetoriais e como isso se decompõe nas integrais das componentes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma integral de linha de um campo vetorial. Imagine que você tem um caminho no espaço e quer somar o efeito do campo ao longo desse caminho. Matemáticamente, a integral de linha de
ao longo de uma curva
é dada por:
Aqui,
é um vetor diferencial ao longo do caminho.
Passo 3
Agora, vamos expandir o produto escalar
. Sabemos que:
Isso significa que a integral de linha do vetor
pode ser escrita como a soma das integrais das suas componentes multiplicadas pelos diferenciais correspondentes.
Passo 4
Portanto, a relação entre a integral de linha de
e as integrais de linha das componentes
,
, e
é:
Isso mostra que a integral de linha do campo vetorial é igual à soma das integrais de linha de cada uma das suas componentes ao longo do caminho
.
Resposta
A integral de linha de
ao longo de uma curva
é igual à soma das integrais de linha das componentes
,
e
. Ou seja:
Exercícios relacionados
Responda os itens abaixo:
(b) Se é um campo de força. o que essa integral de linha representa?
(b) Se
Responda os itens abaixo:
(a) Escreva a definição da integral de linha para uma função escalar ao longo de uma curva lisa
em relação ao comprimento de arco.
(a) Escreva a definição da integral de linha para uma função escalar
Responda conforme o conteúdo de Superfícies Orientadas.
(a) O que é um superfície orinetada? Dê um exemplo de superfície não orientável.
(a) O que é um superfície orinetada? Dê um exemplo de superfície não orientável.
Responda conforme o conteúdo de Superfícies Orientadas.
(b) Defina a integral de superfície (fluxo) de um campo vetorial sobre uma superfície orientada
com vetor normal unitário
.
(b) Defina a integral de superfície (fluxo) de um campo vetorial