Responda os itens abaixo:
© Se , qual a relação entre a integral de linha de e as integrais de linha das componentes ?

Passo 1

Beleza, vamos entender qual é o problema aqui. Você quer saber como a integral de linha de um campo vetorial se relaciona com as integrais de linha das suas componentes individuais , e . Então, vamos precisar dos conceitos de integração de campos vetoriais e como isso se decompõe nas integrais das componentes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma integral de linha de um campo vetorial. Imagine que você tem um caminho no espaço e quer somar o efeito do campo ao longo desse caminho. Matemáticamente, a integral de linha de ao longo de uma curva é dada por:
Aqui, é um vetor diferencial ao longo do caminho.

Passo 3

Agora, vamos expandir o produto escalar . Sabemos que:
Isso significa que a integral de linha do vetor pode ser escrita como a soma das integrais das suas componentes multiplicadas pelos diferenciais correspondentes.

Passo 4

Portanto, a relação entre a integral de linha de e as integrais de linha das componentes , , e é:
Isso mostra que a integral de linha do campo vetorial é igual à soma das integrais de linha de cada uma das suas componentes ao longo do caminho .

Resposta

A integral de linha de ao longo de uma curva é igual à soma das integrais de linha das componentes , e . Ou seja:

Exercícios relacionados

Responda os itens abaixo:
(b) Se é um campo de força. o que essa integral de linha representa?
Responda os itens abaixo:
(a) Escreva a definição da integral de linha para uma função escalar ao longo de uma curva lisa em relação ao comprimento de arco.
Responda conforme o conteúdo de Superfícies Orientadas.
(a) O que é um superfície orinetada? Dê um exemplo de superfície não orientável.
Responda conforme o conteúdo de Superfícies Orientadas.
(b) Defina a integral de superfície (fluxo) de um campo vetorial sobre uma superfície orientada com vetor normal unitário .