Responda conforme o conteúdo de Superfícies Orientadas.
(b) Defina a integral de superfície (fluxo) de um campo vetorial sobre uma superfície orientada com vetor normal unitário .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente definir a integral de superfície (fluxo) de um campo vetorial sobre uma superfície orientada com vetor normal unitário . Isso faz parte do conteúdo de Superfícies Orientadas dentro do cálculo vetorial. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma integral de superfície e como ela mede o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um campo vetorial . Imagine que em cada ponto do espaço, temos um vetor que indica uma direção e intensidade—pode ser, por exemplo, o fluxo de um fluido ou a força de um campo magnético.

Passo 3

Agora, uma superfície orientada é uma superfície que tem uma direção bem definida para o vetor normal . Esse vetor normal é unitário, ou seja, tem tamanho 1, e nos ajuda a determinar “de que lado” da superfície estamos olhando.

Passo 4

A integral de superfície (fluxo) da campo vetorial sobre a superfície basicamente mede quanta “força” do campo está passando através de . É como se estivéssemos avaliando quanto de um vento está atravessando uma janela.

Passo 5

Para calcular isso, usamos a seguinte fórmula:
Aqui, representa o produto escalar entre o campo vetorial e o vetor normal à superfície, que nos dá a componente do vetor que realmente está atravessando a superfície.

Passo 6

O elemento é uma pequena área da superfície , e a integral dupla soma todas essas contribuições ao longo de toda a superfície.

Resposta

A integral de superfície (fluxo) de um campo vetorial sobre uma superfície orientada com vetor normal unitário é definida por:

Exercícios relacionados

Responda conforme o conteúdo de Superfícies Orientadas.
(a) O que é um superfície orinetada? Dê um exemplo de superfície não orientável.
Responda os itens abaixo:
© Se , qual a relação entre a integral de linha de e as integrais de linha das componentes ?
Determine uma parametrização para a superfície dada: O pedaço do parabolóide elíptico que está à direita do plano .
Verifique o Teorema de Grenn usando um sistema algébrico computacional (Symbolab, Wolfram-alpha, Geogebra) para calcular tanto a integral de linha quanto a integral dupla. : é formado pelo arco da parábola de até seguido do segmento de reta de até .