Responda conforme o conteúdo de Superfícies Orientadas.
(b) Defina a integral de superfície (fluxo) de um campo vetorial
sobre uma superfície orientada
com vetor normal unitário
.
(b) Defina a integral de superfície (fluxo) de um campo vetorial
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente definir a integral de superfície (fluxo) de um campo vetorial
sobre uma superfície orientada
com vetor normal unitário
. Isso faz parte do conteúdo de Superfícies Orientadas dentro do cálculo vetorial. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma integral de superfície e como ela mede o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um campo vetorial
. Imagine que em cada ponto do espaço, temos um vetor que indica uma direção e intensidade—pode ser, por exemplo, o fluxo de um fluido ou a força de um campo magnético.
Passo 3
Agora, uma superfície orientada
é uma superfície que tem uma direção bem definida para o vetor normal
. Esse vetor normal é unitário, ou seja, tem tamanho 1, e nos ajuda a determinar “de que lado” da superfície estamos olhando.
Passo 4
A integral de superfície (fluxo) da campo vetorial
sobre a superfície
basicamente mede quanta “força” do campo está passando através de
. É como se estivéssemos avaliando quanto de um vento está atravessando uma janela.
Passo 5
Para calcular isso, usamos a seguinte fórmula:
Aqui,
representa o produto escalar entre o campo vetorial e o vetor normal à superfície, que nos dá a componente do vetor que realmente está atravessando a superfície.
Passo 6
O elemento
é uma pequena área da superfície
, e a integral dupla
soma todas essas contribuições ao longo de toda a superfície.
Resposta
A integral de superfície (fluxo) de um campo vetorial
sobre uma superfície orientada
com vetor normal unitário
é definida por:
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Responda conforme o conteúdo de Superfícies Orientadas.
(a) O que é um superfície orinetada? Dê um exemplo de superfície não orientável.
(a) O que é um superfície orinetada? Dê um exemplo de superfície não orientável.
Responda os itens abaixo:
© Se , qual a relação entre a integral de linha de
e as integrais de linha das componentes
?
© Se
Determine uma parametrização para a superfície dada: O pedaço do parabolóide elíptico
que está à direita do plano
.
Verifique o Teorema de Grenn usando um sistema algébrico computacional (Symbolab, Wolfram-alpha, Geogebra) para calcular tanto a integral de linha quanto a integral dupla.
: é formado pelo arco da parábola
de
até
seguido do segmento de reta de
até
.