Responda os itens abaixo:
(a) Escreva a definição da integral de linha para uma função escalar ao longo de uma curva lisa em relação ao comprimento de arco.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente escrever a definição da integral de linha para uma função escalar ao longo de uma curva lisa , usando o comprimento de arco. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente sobre integrais de linha. Para resolver, a gente vai precisar entender como parametrizar uma curva e como expressar o comprimento de arco em termos dessa parametrização.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma curva lisa pode ser parametrizada por uma função vetorial , onde varia de até . Essa parametrização nos ajuda a descrever cada ponto da curva em termos de uma variável .

Passo 3

O próximo passo é entender o que é o comprimento de arco. O comprimento de arco é uma pequena parte do comprimento total da curva. Quando parametrizamos a curva, o comprimento de arco pode ser expresso como:
Aqui, é a derivada da função vetorial em relação a , e é o módulo dessa derivada, que nos dá a taxa de variação do comprimento de arco.

Passo 4

Agora, vamos juntar tudo para definir a integral de linha da função escalar ao longo da curva . A integral de linha é basicamente a soma infinitesimal das contribuições de ao longo de cada pequeno pedaço da curva. Então, usando a parametrização, a definição fica:
Isso significa que a integral de linha de é a integral usual de em relação a , de até .

Resposta

A definição da integral de linha para uma função escalar ao longo de uma curva lisa em relação ao comprimento de arco é:

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O que é um superfície parametrizada? O que são suas curvas de grade? Escreva uma expressão para a área de uma superfície parametrizada.
Suponha que seja um campo vetorial sobre . Defina
(a) Defina rot .
Responda os itens abaixo:
(b) Se é um campo de força. o que essa integral de linha representa?
Responda os itens abaixo:
© Se , qual a relação entre a integral de linha de e as integrais de linha das componentes ?