Responda os itens abaixo:
(a) Escreva a definição da integral de linha para uma função escalar
ao longo de uma curva lisa
em relação ao comprimento de arco.
(a) Escreva a definição da integral de linha para uma função escalar
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente escrever a definição da integral de linha para uma função escalar
ao longo de uma curva lisa
, usando o comprimento de arco. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente sobre integrais de linha. Para resolver, a gente vai precisar entender como parametrizar uma curva e como expressar o comprimento de arco em termos dessa parametrização.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma curva lisa
pode ser parametrizada por uma função vetorial
, onde
varia de
até
. Essa parametrização nos ajuda a descrever cada ponto da curva em termos de uma variável
.
Passo 3
O próximo passo é entender o que é o comprimento de arco. O comprimento de arco
é uma pequena parte do comprimento total da curva. Quando parametrizamos a curva, o comprimento de arco pode ser expresso como:
Aqui,
é a derivada da função vetorial
em relação a
, e
é o módulo dessa derivada, que nos dá a taxa de variação do comprimento de arco.
Passo 4
Agora, vamos juntar tudo para definir a integral de linha da função escalar
ao longo da curva
. A integral de linha é basicamente a soma infinitesimal das contribuições de
ao longo de cada pequeno pedaço
da curva. Então, usando a parametrização, a definição fica:
Isso significa que a integral de linha de
é a integral usual de
em relação a
, de
até
.
Resposta
A definição da integral de linha para uma função escalar
ao longo de uma curva lisa
em relação ao comprimento de arco é:
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O que é um superfície parametrizada? O que são suas curvas de grade? Escreva uma expressão para a área de uma superfície parametrizada.
Suponha que
seja um campo vetorial sobre
. Defina
(a) Defina rot .
(a) Defina rot
Responda os itens abaixo:
(b) Se é um campo de força. o que essa integral de linha representa?
(b) Se
Responda os itens abaixo:
© Se , qual a relação entre a integral de linha de
e as integrais de linha das componentes
?
© Se