Considere dois fios longos, paralelos e carregados com cargas opostas de raio r com seus centros separados por uma distância
, que é muito maior que r. Assumindo que a carga está distribuída uniformemente sobre a superfície de cada fio, mostre que a capacitância por unidade de comprimento deste par de fios é dada por:
.
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui são dois fios longos e paralelos, cada um com carga elétrica, mas de sinais opostos. Eles têm um raio $ r $ e estão separados por uma distância $ D $, que é bem maior que $ r $. O que a gente precisa encontrar é a capacitância por unidade de comprimento desse par de fios. Para isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especialmente aqueles ligados à capacitância e ao campo elétrico entre condutores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a capacitância $ C $ de um sistema é definida como a relação entre a carga $ Q $ e a diferença de potencial $ V $ entre os condutores: $ C = \frac{Q}{V}
D \gg r $), podemos tratar o problema de forma simplificada usando a teoria de linhas de carga.
Passo 3
Vamos calcular o campo elétrico $ E $ gerado por um fio carregado. Para um fio infinito com carga linear $ \lambda $, o campo elétrico a uma distância $ s $ do fio é dado por:
Aqui, $ \epsilon_0 $ é a permissividade do vácuo.
Passo 4
Como temos dois fios com cargas opostas, o campo total entre eles será a soma dos campos devido a cada fio. Se considerarmos um fio com carga $ +\lambda $ e o outro com $ -\lambda $, a diferença de potencial $ V $ entre eles pode ser encontrada integrando o campo elétrico ao longo do caminho que vai de um fio ao outro:
Passo 5
Resolvendo a integral, temos:
Como $ D \gg r $, podemos aproximar $ D - r $ por $ D $, simplificando para:
Passo 6
Agora, voltamos à definição de capacitância $ C = \frac{Q}{V} $. A carga $ Q $ em termos da carga linear $ \lambda $ e do comprimento $ l $ dos fios é $ Q = \lambda l $. Substituindo na fórmula:
Passo 7
Como a questão pede a capacitância por unidade de comprimento, dividimos $ C $ por $ l $:
Resposta
A capacitância por unidade de comprimento desse par de fios é: