Considere dois fios longos, paralelos e carregados com cargas opostas de raio r com seus centros separados por uma distância D, que é muito maior que r. Assumindo que a carga está distribuída uniformemente sobre a superfície de cada fio, mostre que a capacitância por unidade de comprimento deste par de fios é dada por: C / l= pi epsilon0 / ln (D / r).

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui são dois fios longos e paralelos, cada um com carga elétrica, mas de sinais opostos. Eles têm um raio $ r $ e estão separados por uma distância $ D $, que é bem maior que $ r $. O que a gente precisa encontrar é a capacitância por unidade de comprimento desse par de fios. Para isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especialmente aqueles ligados à capacitância e ao campo elétrico entre condutores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a capacitância $ C $ de um sistema é definida como a relação entre a carga $ Q $ e a diferença de potencial $ V $ entre os condutores: $ C = \frac{Q}{V} C ãã D \gg r $), podemos tratar o problema de forma simplificada usando a teoria de linhas de carga.

Passo 3

Vamos calcular o campo elétrico $ E $ gerado por um fio carregado. Para um fio infinito com carga linear $ \lambda $, o campo elétrico a uma distância $ s $ do fio é dado por:
E
Aqui, $ \epsilon_0 $ é a permissividade do vácuo.

Passo 4

Como temos dois fios com cargas opostas, o campo total entre eles será a soma dos campos devido a cada fio. Se considerarmos um fio com carga $ +\lambda $ e o outro com $ -\lambda $, a diferença de potencial $ V $ entre eles pode ser encontrada integrando o campo elétrico ao longo do caminho que vai de um fio ao outro:
+lambda

Passo 5

Resolvendo a integral, temos:
V = lambda2pi epsilon0 ln(D - rr)
Como $ D \gg r $, podemos aproximar $ D - r $ por $ D $, simplificando para:
D gg r

Passo 6

Agora, voltamos à definição de capacitância $ C = \frac{Q}{V} $. A carga $ Q $ em termos da carga linear $ \lambda $ e do comprimento $ l $ dos fios é $ Q = \lambda l $. Substituindo na fórmula:
C = QV

Passo 7

Como a questão pede a capacitância por unidade de comprimento, dividimos $ C $ por $ l $:
C

Resposta

A capacitância por unidade de comprimento desse par de fios é:
Cl = pi epsilon0ln ( Dr )

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