Com os resultados listados acima, estabeleça se as sequências
abaixo convergem ou divergem, dizendo qual critério usou. Quando for possivel calcule o limite da sequência.
Passo 1
Tudo bem! A gente vai analisar a sequência
. O assunto aqui é convergência de sequências, que é parte do cálculo. Vamos precisar entender como os termos da sequência se comportam conforme
aumenta e usar alguns critérios de convergência para descobrir se a sequência se aproxima de um valor específico ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o termo
. Esse termo alterna entre 1 e -1 conforme
é par ou ímpar. Então,
vai alternar entre 2 (quando
é par) e 0 (quando
é ímpar). Assim, nosso
fica:
- Se
é par: - Se
é ímpar:
Passo 3
Agora, vamos ver o que acontece quando
cresce, ou seja, quando
vai para o infinito.
- Para
par: vai ficando menor e menor, aproximando-se de 0. - Para
ímpar: é sempre 0.
Então, independente se
é par ou ímpar, os termos da sequência estão se aproximando de 0 conforme
aumenta.
Passo 4
Para formalizar isso, usamos o Critério do Limite: se o limite de
quando
vai ao infinito existe e é igual a um número real
, então a sequência converge para
. Se não, ela diverge.
Calculando o limite:
Sabemos que:
e
Portanto:
Resposta
A sequência
converge para 0 usando o Critério do Limite.
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