Com os resultados listados acima, estabeleça se as sequências abaixo convergem ou divergem, dizendo qual critério usou. Quando for possivel calcule o limite da sequência.

Passo 1

Tudo bem! A gente vai analisar a sequência . O assunto aqui é convergência de sequências, que é parte do cálculo. Vamos precisar entender como os termos da sequência se comportam conforme aumenta e usar alguns critérios de convergência para descobrir se a sequência se aproxima de um valor específico ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o termo . Esse termo alterna entre 1 e -1 conforme é par ou ímpar. Então, vai alternar entre 2 (quando é par) e 0 (quando é ímpar). Assim, nosso fica:
  • Se é par:
  • Se é ímpar:

Passo 3

Agora, vamos ver o que acontece quando cresce, ou seja, quando vai para o infinito.
  • Para par: vai ficando menor e menor, aproximando-se de 0.
  • Para ímpar: é sempre 0.
Então, independente se é par ou ímpar, os termos da sequência estão se aproximando de 0 conforme aumenta.

Passo 4

Para formalizar isso, usamos o Critério do Limite: se o limite de quando vai ao infinito existe e é igual a um número real , então a sequência converge para . Se não, ela diverge.
Calculando o limite:
Sabemos que:
e
Portanto:

Resposta

A sequência converge para 0 usando o Critério do Limite.

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