Quando a reta e o plano não são paralelos nem perpendiculares, a distância entre eles é medida ao longo de uma linha perpendicular ao plano e que passa pelo ponto da reta mais próximo do plano. Considerando a reta r = {t(-1, 1, 2)|t ∈ R} e o plano α: x + y + z = 1, determine r ∩ α.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o ponto onde a reta $ r $ intersecta o plano $ \alpha $. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre retas e planos no espaço tridimensional. Vamos precisar entender como representar a reta e o plano matematicamente e achar o ponto que satisfaz ambas as equações.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação paramétrica da reta $ r $. A reta é dada por $ r = { t(-1, 1, 2) ,|, t \in \mathbb{R} } $. Isso significa que qualquer ponto na reta pode ser representado como $ P(t) = (-t, t, 2t) $, onde $ t $ é um parâmetro real que varia.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a equação do plano $ \alpha $: $ x + y + z = 1 $. Esse é o formato geral de um plano no espaço tridimensional, onde os coeficientes de $ x $, $ y $ e $ z $ são os componentes do vetor normal ao plano.
Passo 4
Para encontrar o ponto de interseção entre a reta $ r $ e o plano $ \alpha $, precisamos encontrar o valor de $ t $ que faz o ponto $ P(t) $ da reta satisfazer a equação do plano. Ou seja, substituímos $ x = -t $, $ y = t $ e $ z = 2t $ na equação do plano:
Passo 5
Simplificando a equação:
Agora, resolvemos para $ t $:
Passo 6
Com o valor de $ t = \frac{1}{2} $, substituímos de volta na equação paramétrica da reta para encontrar as coordenadas do ponto de interseção:
Resposta
O ponto de interseção entre a reta $ r $ e o plano $ \alpha $ é $ \left( -\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 1 \right) $.