Seja uma variável X~N(μ, 16) observada em dada população. Supondo que queiramos um erro amostral da média máximo de ε = 1, com 94% de probabilidade, qual é o menor tamanho de amostra que possibilite esse erro máximo estabelecido?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma variável aleatória $ X $ que segue uma distribuição normal com média $ \mu $ e variância $ 16 $ (ou seja, desvio padrão $ \sigma = 4 $). Queremos encontrar o menor tamanho de amostra $ n $ que nos permita estimar a média da população com um erro máximo de $ \epsilon = 1 $ e com 94% de confiança.
Passo 2
Para resolver esse problema, vamos usar o conceito de erro amostral e intervalo de confiança da média. O erro amostral ($ E $) é dado pela fórmula:
Aqui, $ z^* $ é o valor crítico da distribuição normal que corresponde ao nível de confiança desejado, $ \sigma $ é o desvio padrão da população, e $ n $ é o tamanho da amostra que queremos encontrar.
Passo 3
Nosso objetivo é encontrar $ n $ tal que o erro amostral seja no máximo 1. Ou seja,
Primeiro, precisamos determinar o valor de $ z^* $ para um nível de confiança de 94%. Como a distribuição normal é simétrica, vamos encontrar o valor de $ z^* $ que deixa $ 3% $ da área em cada extremidade da curva (já que $ 100% - 94% = 6% $, dividido igualmente).
Passo 4
Consultando a tabela da distribuição normal padrão ou usando uma calculadora, encontramos que para um nível de confiança de 94%, o valor de $ z^* $ é aproximadamente $ 1.88 $.
Passo 5
Agora, substituímos os valores na equação:
Resolvendo para $ \sqrt{n} $:
Elevando ambos os lados ao quadrado para encontrar $ n $:
Passo 6
Como o tamanho da amostra deve ser um número inteiro, arredondamos para o próximo número inteiro maior.
Resposta
O menor tamanho de amostra necessário é $ n = 57 $.