As retas suportes dos lados de um triângulo são 3 x-4 y=0, x+y-7=0 e 4 x-3 y=0. Mostrar que esse triângulo é isósceles.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá as equações das retas que são os lados de um triângulo:
Nosso objetivo é mostrar que esse triângulo é isósceles, ou seja, que ele tem pelo menos dois lados de tamanhos iguais. Para isso, vamos precisar:
  • Encontrar os vértices do triângulo, que são os pontos de interseção dessas retas.
  • Calcular as distâncias entre esses vértices para descobrir os comprimentos dos lados.
  • Comparar esses comprimentos para verificar se há lados iguais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os vértices do triângulo. Cada vértice é a interseção de duas retas. Vamos resolver os sistemas de equações dois a dois para achar esses pontos.
Vértice A: Interseção das retas 3x - 4y = 0 x + y = 7 e 3(7 - y) - 4y = 0 21 - 3y - 4y = 0 21 - 7y = 0 7y = 21 y = 3 .
Vamos resolver esse sistema:
x + 3 = 7 x = 4
Da segunda equação, podemos expressar e substituir na primeira:
Substituindo na segunda equação:
Então, A = (4, 3).

Passo 3

Vértice B: Interseção das retas x + y = 7 4x - 3y = 0 e 4x - 3(7 - x) = 0 4x - 21 + 3x = 0 7x - 21 = 0 7x = 21 x = 3 .
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação, . Substituindo na segunda:
Então, .
Portanto, B = (3, 4).

Passo 4

Vértice C: Interseção das retas 3x - 4y = 0 4x - 3y = 0 e 12x - 16y = 0 12x - 9y = 0 .
Resolvendo o sistema:
-7y = 0 y = 0
Podemos resolver multiplicando a primeira equação por 4 e a segunda por 3 para eliminar 3x = 0 x = 0 :
Subtraindo a segunda equação da primeira:
Substituindo na primeira equação:
Portanto, C = (0, 0).

Passo 5

Agora que temos os três vértices do triângulo:
  • A = (4, 3)
  • B = (3, 4)
  • C = (0, 0)
Vamos calcular as distâncias entre eles para encontrar os comprimentos dos lados. Usaremos a fórmula da distância entre dois pontos d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 e dAB = raiz(3 - 4)^2 + (4 - 3)^2 = raiz(-1)^2 + (1)^2 = raiz1 + 1 = raiz2 :
dAC = raiz(0 - 4)^2 + (0 - 3)^2 = raiz(-4)^2 + (-3)^2 = raiz16 + 9 = raiz25 = 5
Lado AB:
dBC = raiz(0 - 3)^2 + (0 - 4)^2 = raiz(-3)^2 + (-4)^2 = raiz9 + 16 = raiz25 = 5
Lado AC:
Lado BC:

Passo 6

Vamos comparar os comprimentos dos lados que calculamos:
Vemos que e são iguais ( ). Ou seja, dois lados do triângulo têm o mesmo comprimento. Isso caracteriza um triângulo isósceles.

Resposta

O triângulo formado pelas retas dadas é isósceles porque possui dois lados de mesmo comprimento.

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