As retas suportes dos lados de um triângulo são
e
. Mostrar que esse triângulo é isósceles.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá as equações das retas que são os lados de um triângulo:
Nosso objetivo é mostrar que esse triângulo é isósceles, ou seja, que ele tem pelo menos dois lados de tamanhos iguais. Para isso, vamos precisar:
- Encontrar os vértices do triângulo, que são os pontos de interseção dessas retas.
- Calcular as distâncias entre esses vértices para descobrir os comprimentos dos lados.
- Comparar esses comprimentos para verificar se há lados iguais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os vértices do triângulo. Cada vértice é a interseção de duas retas. Vamos resolver os sistemas de equações dois a dois para achar esses pontos.
Vértice A: Interseção das retas
e
.
Vamos resolver esse sistema:
Da segunda equação, podemos expressar
e substituir na primeira:
Substituindo
na segunda equação:
Então, A = (4, 3).
Passo 3
Vértice B: Interseção das retas
e
.
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação,
. Substituindo na segunda:
Então,
.
Portanto, B = (3, 4).
Passo 4
Vértice C: Interseção das retas
e
.
Resolvendo o sistema:
Podemos resolver multiplicando a primeira equação por 4 e a segunda por 3 para eliminar
:
Subtraindo a segunda equação da primeira:
Substituindo
na primeira equação:
Portanto, C = (0, 0).
Passo 5
Agora que temos os três vértices do triângulo:
- A = (4, 3)
- B = (3, 4)
- C = (0, 0)
Vamos calcular as distâncias entre eles para encontrar os comprimentos dos lados. Usaremos a fórmula da distância entre dois pontos
e
:
Lado AB:
Lado AC:
Lado BC:
Passo 6
Vamos comparar os comprimentos dos lados que calculamos:
Vemos que
e
são iguais (
). Ou seja, dois lados do triângulo têm o mesmo comprimento. Isso caracteriza um triângulo isósceles.
Resposta
O triângulo formado pelas retas dadas é isósceles porque possui dois lados de mesmo comprimento.
Exercícios relacionados
Determinar a equação geral da reta definida por
e
.
Determinar
colinear simultaneamente com
e
e com
e
.
Demonstre que as retas
são concorrentes no mesmo ponto para qualquer
.
Discutir a posição relativa entre
e
, para:
e
.