Demonstre que as retas x-2 y=0, x+2 y-8=0 e(1+k) x+2(1-k) y-8=0 são concorrentes no mesmo ponto para qualquer k in R.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente mostrar que as três retas dadas pelas equações , e todas se encontram no mesmo ponto, não importando o valor de . Isso envolve conhecimento de geometria analítica, especificamente como resolver sistemas de equações para encontrar pontos de interseção.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o ponto onde as duas primeiras retas se encontram. Para isso, resolvemos o sistema formado por e .

Passo 3

Da primeira equação x = 2y , podemos isolar :

Passo 4

Agora, substituímos 2y + 2y - 8 = 0 na segunda equação 4y - 8 = 0 :

Passo 5

Resolvendo para 4y = 8 :
y = 2

Passo 6

Com x = 2 times 2 , voltamos na equação x = 4 para encontrar :

Passo 7

Então, o ponto de interseção das duas primeiras retas é . Agora, precisamos verificar se esse ponto também está na terceira reta para qualquer .

Passo 8

Substituímos (1+k)(4) + 2(1-k)(2) - 8 = 0 e 4(1+k) + 4(1 - k) - 8 = 0 na terceira equação:

Passo 9

Distribuindo os termos:
4 + 4k + 4 - 4k - 8 = 0
(4 + 4) + (4k - 4k) - 8 = 0
8 - 8 = 0
0 = 0

Passo 10

Vimos que, ao substituir na terceira equação, a igualdade se mantém verdadeira para qualquer valor de . Isso significa que o ponto está sempre na terceira reta, não importando o .

Resposta

As três retas , e são concorrentes no ponto para qualquer .

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