Demonstre que as retas
são concorrentes no mesmo ponto para qualquer
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente mostrar que as três retas dadas pelas equações
,
e
todas se encontram no mesmo ponto, não importando o valor de
. Isso envolve conhecimento de geometria analítica, especificamente como resolver sistemas de equações para encontrar pontos de interseção.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o ponto onde as duas primeiras retas se encontram. Para isso, resolvemos o sistema formado por
e
.
Passo 3
Da primeira equação
, podemos isolar
:
Passo 4
Agora, substituímos
na segunda equação
:
Passo 5
Resolvendo para
:
Passo 6
Com
, voltamos na equação
para encontrar
:
Passo 7
Então, o ponto de interseção das duas primeiras retas é
. Agora, precisamos verificar se esse ponto também está na terceira reta
para qualquer
.
Passo 8
Substituímos
e
na terceira equação:
Passo 9
Distribuindo os termos:
Passo 10
Vimos que, ao substituir
na terceira equação, a igualdade se mantém verdadeira
para qualquer valor de
. Isso significa que o ponto
está sempre na terceira reta, não importando o
.
Resposta
As três retas
,
e
são concorrentes no ponto
para qualquer
.
Exercícios relacionados
As retas suportes dos lados de um triângulo são
e
. Mostrar que esse triângulo é isósceles.
Determinar a equação geral da reta definida por
e
.
Discutir a posição relativa entre
e
, para:
e
.
Calcular a distância
à reta r nos seguintes casos:
e
.