• (Retendo 4 casas decimais, se necessário): Seja a matriz
A=[lll 5 & 2 & 3 3 & 1 & 4 1 & 1 & 2 ],
Através da decomposição LU, calcule o determinante de A.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão pede. Temos uma matriz de ordem 3x3 e precisamos calcular seu determinante utilizando a decomposição LU. Decomposição LU é uma técnica que decompõe uma matriz em duas matrizes especiais: uma L (lower triangular) e uma U (upper triangular). Para resolver isso, vamos precisar seguir os passos da decomposição LU e depois usar as propriedades dos determinantes.

Passo 2

Vamos começar decompondo a matriz em e . A matriz será uma matriz triangular inferior com 1s na diagonal principal, e a matriz será uma matriz triangular superior. O objetivo é achar essas duas matrizes tal que .

Passo 3

Primeiro, inicializamos L = 1 & 0 & 0 l21 & 1 & 0 l31 & l32 & 1 , U = u11 & u12 & u13 0 & u22 & u23 0 & 0 & u33 e :
Agora, multiplicamos e e igualamos a para encontrar os elementos de e .

Passo 4

Multiplicando A = L times U = u11 & u12 & u13 l21u11 & l21u12 + u22 & l21u13 + u23 l31u11 & l31u12 + l32u22 & l31u13 + l32u23 + u33 e u11 = 5 u12 = 2 u13 = 3 l21u11 = 3 l31u11 = 1 l21u12 + u22 = 1 l31u12 + l32u22 = 1 l21u13 + u23 = 4 l31u13 + l32u23 + u33 = 2 :
Igualando com :

Passo 5

Resolvendo as equações:

Passo 6

Agora temos as matrizes L = 1 & 0 & 0 35 & 1 & 0 15 & -35 & 1 , U = 5 & 2 & 3 0 & -15 & 115 0 & 0 & 6825 e :

Passo 7

Para encontrar o determinante de , usamos a propriedade que . Como tem 1s na diagonal, . Portanto, .

Passo 8

Calculando det(U) = 5 times (-15) times 6825 = 5 times (-15) = -1 times 6825 = -6825 = -2.72 , que é o produto dos elementos da diagonal principal:

Resposta

O determinante de é .

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