O retorno percentual de um investimento pela v.a. , tem a seguinte densidade: . Qual a probabilidade de se ter prejuízo no investimento?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o retorno percentual de um investimento, representado pela variável aleatória . A densidade dessa variável é dada por no intervalo de . Nosso objetivo aqui é descobrir qual a probabilidade de ter prejuízo nesse investimento, ou seja, de ser menor que zero.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções densidade de probabilidade e como calcular probabilidades usando elas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função densidade de probabilidade (fdp) nos ajuda a determinar a probabilidade de a variável aleatória assumir valores dentro de certos intervalos. A probabilidade de estar entre dois valores e é dada pela área sob a curva da fdp entre esses pontos, que calculamos usando a integral definida:

Passo 3

No nosso caso, queremos a probabilidade de ser menor que zero, ou seja, . Isso significa que vamos calcular a integral da densidade de até :

Passo 4

Vamos resolver essa integral. Primeiro, simplificamos a expressão dentro da integral:
Agora, integramos em relação a :

Passo 5

Aplicando os limites de integração de a :
Simplificando:

Passo 6

Agora, multiplicamos pelo fator :

Resposta

A probabilidade de se ter prejuízo no investimento é , ou aproximadamente 43,75%.

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