O retorno percentual de um investimento pela v.a.
, tem a seguinte densidade:
. Qual a probabilidade de se ter prejuízo no investimento?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o retorno percentual de um investimento, representado pela variável aleatória
. A densidade dessa variável é dada por
no intervalo de
. Nosso objetivo aqui é descobrir qual a probabilidade de ter prejuízo nesse investimento, ou seja, de
ser menor que zero.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções densidade de probabilidade e como calcular probabilidades usando elas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função densidade de probabilidade (fdp)
nos ajuda a determinar a probabilidade de a variável aleatória
assumir valores dentro de certos intervalos. A probabilidade de
estar entre dois valores
e
é dada pela área sob a curva da fdp entre esses pontos, que calculamos usando a integral definida:
Passo 3
No nosso caso, queremos a probabilidade de
ser menor que zero, ou seja,
. Isso significa que vamos calcular a integral da densidade
de
até
:
Passo 4
Vamos resolver essa integral. Primeiro, simplificamos a expressão dentro da integral:
Agora, integramos
em relação a
:
Passo 5
Aplicando os limites de integração de
a
:
Simplificando:
Passo 6
Agora, multiplicamos pelo fator
:
Resposta
A probabilidade de se ter prejuízo no investimento é
, ou aproximadamente 43,75%.
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Seja X v.a. contínua e
. Calcule
.
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