O retorno percentual de um investimento pela v.a. X, tem a seguinte densidade: f(x)=(30-x) / 800,-10 <= x <= 30. Qual a probabilidade de se ter prejuízo no investimento?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o retorno percentual de um investimento, representado pela variável aleatória . A densidade dessa variável é dada por no intervalo de . Nosso objetivo aqui é descobrir qual a probabilidade de ter prejuízo nesse investimento, ou seja, de ser menor que zero.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções densidade de probabilidade e como calcular probabilidades usando elas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função densidade de probabilidade (fdp) P(a <= X <= b) = integrala^b f(x) , dx nos ajuda a determinar a probabilidade de a variável aleatória assumir valores dentro de certos intervalos. A probabilidade de estar entre dois valores e é dada pela área sob a curva da fdp entre esses pontos, que calculamos usando a integral definida:

Passo 3

No nosso caso, queremos a probabilidade de P(X < 0) = integral-10^0 30 - x800 , dx ser menor que zero, ou seja, . Isso significa que vamos calcular a integral da densidade de até :

Passo 4

Vamos resolver essa integral. Primeiro, simplificamos a expressão dentro da integral:
integral-10^0 30 - x800 , dx = 1800 integral-10^0 (30 - x) , dx
Agora, integramos integral (30 - x) , dx = 30x - x^22 + C em relação a :

Passo 5

Aplicando os limites de integração de [30x - x^22]-10^0 = (30 cdot 0 - 0^22) - (30 cdot (-10) - (-10)^22) a = (0 - 0) - (-300 - 50) = 0 - (-350) = 350 :
Simplificando:

Passo 6

Agora, multiplicamos pelo fator P(X < 0) = 1800 times 350 = 350800 = 716 :

Resposta

A probabilidade de se ter prejuízo no investimento é , ou aproximadamente 43,75%.

Exercícios relacionados