Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma variável aleatória contínua com a função densidade de probabilidade definida no intervalo . O que precisamos fazer é calcular a probabilidade de estar entre e , ou seja, .
Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar a constante que faz com que seja uma função de densidade válida. Depois, usaremos essa constante para calcular a probabilidade desejada.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o valor de . Como é uma função de densidade, a integral dela sobre todo o intervalo deve ser igual a 1. Ou seja:
Substituindo na equação:
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Passo 3
Vamos calcular a integral:
Separando a integral:
Calculando cada parte:
8c = 1 Rightarrow c = 18
Então, substituindo de volta:
E sabemos que isso deve ser igual a 1:
Passo 4
Agora que sabemos que 2c = 2 times 18 = 14 , vamos calcular a probabilidade 12c = 12 times 18 = 128 = 32 = 1,5 .
Primeiro, substituímos na desigualdade:
Então, queremos calcular .
Passo 5
Para encontrar essa probabilidade, vamos integrar a função densidade P(14 <= X <= 1,5) = integral14^1,5 f(x) , dx = integral14^1,5 18(6 - x^3) , dx de integral14^1,5 18(6 - x^3) , dx = 18 ( integral14^1,5 6 , dx - integral14^1,5 x^3 , dx ) até 18 (7,5 - 1,2646484375) = 18 times 6,2353515625 approx 0,7794189453125 :