Seja X v.a. contínua e f(x)=c(6-x^3), x in[0,2]. Calcule P(2 c <= X <= 12 c).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma variável aleatória contínua com a função densidade de probabilidade definida no intervalo . O que precisamos fazer é calcular a probabilidade de estar entre e , ou seja, .
Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar a constante que faz com que seja uma função de densidade válida. Depois, usaremos essa constante para calcular a probabilidade desejada.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o valor de integral0^2 f(x) , dx = 1 . Como integral0^2 c(6 - x^3) , dx = 1 é uma função de densidade, a integral dela sobre todo o intervalo deve ser igual a 1. Ou seja:
Substituindo na equação:
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 3

Vamos calcular a integral:
integral0^2 c(6 - x^3) , dx = c integral0^2 (6 - x^3) , dx
Separando a integral:
c ( integral0^2 6 , dx - integral0^2 x^3 , dx )
Calculando cada parte:
  1. c (12 - 4) = c times 8
  2. 8c = 1 Rightarrow c = 18
Então, substituindo de volta:
E sabemos que isso deve ser igual a 1:

Passo 4

Agora que sabemos que 2c = 2 times 18 = 14 , vamos calcular a probabilidade 12c = 12 times 18 = 128 = 32 = 1,5 .
Primeiro, substituímos na desigualdade:
Então, queremos calcular .

Passo 5

Para encontrar essa probabilidade, vamos integrar a função densidade P(14 <= X <= 1,5) = integral14^1,5 f(x) , dx = integral14^1,5 18(6 - x^3) , dx de integral14^1,5 18(6 - x^3) , dx = 18 ( integral14^1,5 6 , dx - integral14^1,5 x^3 , dx ) até 18 (7,5 - 1,2646484375) = 18 times 6,2353515625 approx 0,7794189453125 :
Vamos resolver essa integral:
Calculando cada parte:
Substituindo de volta:

Resposta

A probabilidade é aproximadamente 0,7794.

Exercícios relacionados