M. D. Computing descreve o uso do teorema de Bayes e o uso da probabilidade condicional no diagnóstico médico. As probabilidades prévias de doenças são baseadas na avaliação dos médicos de variáveis tais como localização geográfica, influência sazonal, ocorrência de epidemias e assim por diante. Suponha que se acredite que um paciente tenha uma de duas doenças, denotadas como
com
e
, e que a pesquisa médica tenha determinado a probabilidade associada com cada sintoma que pode acompanhar as doenças.
Suponha que, dadas as doenças
e
, as probabilidades de que o paciente terá os sintomas
e
são como segue:
Suponha que, dadas as doenças
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---|---|---|---|
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Depois que constatar que um certo sintoma esteja presente, o diagnóstico médico pode ser auxiliado encontrando-se as probabilidades revisadas de cada doença em particular. Calcule as probabilidades posteriores de cada doença dada as seguintes constatações médicas:
b) O paciente tem o sintoma
b) O paciente tem o sintoma
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que fala sobre como usar o Teorema de Bayes para diagnosticar doenças com base em sintomas. A gente tem duas doenças,
e
, com probabilidades prévias de 60% e 40% respectivamente. Além disso, temos as probabilidades de apresentar certos sintomas (
,
,
) para cada doença. Nosso objetivo aqui é descobrir, dado que o paciente tem o sintoma
, quais são as probabilidades atualizadas de ele ter
ou
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar do Teorema de Bayes, que é uma ferramenta poderosa para atualizar nossas crenças com base em novas informações. A fórmula do teorema é:
Aqui,
é a probabilidade posterior da doença
dado o sintoma
,
é a probabilidade de ter o sintoma
se a doença for
,
é a probabilidade prévia da doença
, e
é a probabilidade total de ter o sintoma
.
Passo 3
Vamos calcular
, que é a probabilidade total de um paciente ter o sintoma
. Isso pode ser feito somando as probabilidades de
ocorrer em cada doença, ponderadas pelas probabilidades prévias dessas doenças:
Substituindo pelos valores dados:
Passo 4
Agora, vamos calcular a probabilidade posterior de cada doença dado o sintoma
.
Para
:
Para
:
Resposta
As probabilidades posteriores são
e
. Ou seja, dado o sintoma
, as duas doenças têm a mesma chance de serem a causa.
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