M. D. Computing descreve o uso do teorema de Bayes e o uso da probabilidade condicional no diagnóstico médico. As probabilidades prévias de doenças são baseadas na avaliação dos médicos de variáveis tais como localização geográfica, influência sazonal, ocorrência de epidemias e assim por diante. Suponha que se acredite que um paciente tenha uma de duas doenças, denotadas como D1 e D2 com P(D1)=0,60 e P(D2)=0,40, e que a pesquisa médica tenha determinado a probabilidade associada com cada sintoma que pode acompanhar as doenças.
Suponha que, dadas as doenças D1 e D2, as probabilidades de que o paciente terá os sintomas S1, S2 e S3 são como segue:
S1 S2 S3
D1 P(S1 mid D1)=0,15 P(S2 mid D1)=0,10 P(S3 mid D1)=0,15
D2 P(S1 mid D2)=0,80 P(S2 mid D2)=0,15 P(S3 mid D2)=0,03
Depois que constatar que um certo sintoma esteja presente, o diagnóstico médico pode ser auxiliado encontrando-se as probabilidades revisadas de cada doença em particular. Calcule as probabilidades posteriores de cada doença dada as seguintes constatações médicas:
b) O paciente tem o sintoma S2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que fala sobre como usar o Teorema de Bayes para diagnosticar doenças com base em sintomas. A gente tem duas doenças, e , com probabilidades prévias de 60% e 40% respectivamente. Além disso, temos as probabilidades de apresentar certos sintomas ( , , ) para cada doença. Nosso objetivo aqui é descobrir, dado que o paciente tem o sintoma , quais são as probabilidades atualizadas de ele ter ou .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do Teorema de Bayes, que é uma ferramenta poderosa para atualizar nossas crenças com base em novas informações. A fórmula do teorema é:
P(Di mid S) = P(S mid Di) cdot P(Di)P(S)
Aqui, é a probabilidade posterior da doença dado o sintoma , é a probabilidade de ter o sintoma se a doença for , é a probabilidade prévia da doença , e é a probabilidade total de ter o sintoma .

Passo 3

Vamos calcular P(S2) = P(S2 mid D1) cdot P(D1) + P(S2 mid D2) cdot P(D2) , que é a probabilidade total de um paciente ter o sintoma P(S2) = 0,10 cdot 0,60 + 0,15 cdot 0,40 = 0,06 + 0,06 = 0,12 . Isso pode ser feito somando as probabilidades de ocorrer em cada doença, ponderadas pelas probabilidades prévias dessas doenças:
Substituindo pelos valores dados:

Passo 4

Agora, vamos calcular a probabilidade posterior de cada doença dado o sintoma P(D1 mid S2) = P(S2 mid D1) cdot P(D1)P(S2) = 0,10 cdot 0,600,12 = 0,060,12 = 0,50 .
Para P(D2 mid S2) = P(S2 mid D2) cdot P(D2)P(S2) = 0,15 cdot 0,400,12 = 0,060,12 = 0,50 :
Para :

Resposta

As probabilidades posteriores são e . Ou seja, dado o sintoma , as duas doenças têm a mesma chance de serem a causa.

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