Um robô em um determinado processo é constituido de uma barra de 200 mm girando em torno de O no espaço XYZ a uma velocidade angular, teta, contante de 2,5 rad/s e uma velocidade angular, Y, contante de 3,0 rad/s. Para um ângulo teta de 35° e um ângulo Y de 120°, o módulo da velocidade na extremidade x, y, z é, em m/s:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um problema de cinemática rotacional, onde precisamos encontrar a velocidade de um ponto na extremidade de uma barra que está girando. Temos uma barra de 200 mm (ou 0,2 metros) girando em torno de um ponto O no espaço XYZ. Ela tem duas velocidades angulares constantes: uma em torno do eixo theta ( theta) que é 2,5 rad/s e outra em torno do eixo Y que é 3,0 rad/s. Queremos encontrar o módulo da velocidade na extremidade da barra para theta = 35° e Y = 120°.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de vetores de velocidade em movimentos rotacionais e decompor as velocidades em suas componentes x, y e z.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a velocidade de um ponto em movimento rotacional pode ser calculada pela fórmula:
v = omega times r
onde:
  • v é a velocidade do ponto,
  • omega é o vetor velocidade angular,
  • r é o vetor posição do ponto em relação ao ponto de rotação.

Passo 3

Aqui, temos duas velocidades angulares atuando na barra: uma em torno do eixo theta e outra em torno do eixo Y. Vamos considerar cada uma separadamente e depois somar os vetores para obter a velocidade total na extremidade da barra.

Passo 4

Primeiro, vamos converter os ângulos de graus para radianos, já que as velocidades angulares estão em rad/s.
theta = 35° = 35 times pi180 approx 0,6109 rad
Y = 120° = 120 times pi180 approx 2,0944 rad

Passo 5

Agora, vamos decompor as velocidades angulares nos eixos x, y e z. Assumindo que o eixo de rotação theta está no plano XY e o eixo Y está no próprio eixo Y, temos:
Para omegatheta = 2,5 rad/s:
omegatheta = 2,5 cos(theta) i + 2,5 sin(theta) j + 0 k
Para omegaY = 3,0 rad/s:
omegaY = 0 i + 3,0 j + 0 k

Passo 6

Somando as duas velocidades angulares para obter a velocidade angular total:
omegatotal = omegatheta + omegaY = 2,5 cos(35°) i + (2,5 sin(35°) + 3,0) j + 0 k
Calculando os valores numéricos:
cos(35°) approx 0,8192
sin(35°) approx 0,5736
Então,
omegatotal approx 2,5 times 0,8192 i + (2,5 times 0,5736 + 3,0) j + 0 k
omegatotal approx 2,048 i + (1,434 + 3,0) j + 0 k
omegatotal approx 2,048 i + 4,434 j + 0 k

Passo 7

Agora, vamos calcular o vetor posição r da extremidade da barra. Como a barra tem 0,2 metros e está orientada nos ângulos theta e Y, temos:
r = 0,2 cos(theta) cos(Y) i + 0,2 cos(theta) sin(Y) j + 0,2 sin(theta) k
Substituindo os valores:
r approx 0,2 times 0,8192 times cos(120°) i + 0,2 times 0,8192 times sin(120°) j + 0,2 times 0,5736 k
Calculando:
cos(120°) = -0,5
sin(120°) = raiz32 approx 0,8660
Então,
r approx 0,2 times 0,8192 times (-0,5) i + 0,2 times 0,8192 times 0,8660 j + 0,2 times 0,5736 k
r approx -0,08192 i + 0,1415 j + 0,1147 k

Passo 8

Agora, vamos calcular o produto vetorial omegatotal times r para encontrar a velocidade v na extremidade da barra.
v = omegatotal times r
Usando a regra do determinante para o produto vetorial:
v = i & j & k 2,048 & 4,434 & 0 -0,08192 & 0,1415 & 0,1147
Calculando cada componente:
vx = (4,434)(0,1147) - (0)(0,1415) = 0,508 , m/s
vy = 0 - (2,048)(0,1147) = -0,235 , m/s
vz = (2,048)(0,1415) - (4,434)(-0,08192) = 0,290 + 0,363 = 0,653 , m/s

Passo 9

Finalmente, vamos calcular o módulo da velocidade |v| usando a fórmula:
|v| = raizvx^2 + vy^2 + vz^2
Substituindo os valores:
|v| = raiz(0,508)^2 + (-0,235)^2 + (0,653)^2 approx raiz0,258 + 0,055 + 0,426 approx raiz0,739 approx 0,860 , m/s

Resposta

O módulo da velocidade na extremidade da barra é aproximadamente 0,86 m/s.

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