Uma roda de 30 cm de raio possui oito raios. Ela está montada em um eixo fixo e gira à razão de
. Você deseja atirar uma flecha de 24 cm de comprimento através da roda, paralelamente ao seu eixo. sem tocar seus raios. Admita que tanto a flecha como os raios são muito finos; veja a Fig. Qual é a velocidade mínima que a flecha pode ter? (b) É importante o ponto, entre o eixo e a borda da roda, que você mira? Em caso afirmativo, qual a melhor localização?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala de uma roda com raio de 30 cm que gira 2,5 rotações por segundo e tem 8 raios. Você quer atirar uma flecha de 24 cm paralelamente ao eixo dessa roda, sem tocar nos raios. Vamos usar conceitos de velocidade angular e linear para resolver isso. Precisaremos entender como calcular a velocidade dos raios e comparar com a velocidade da flecha para garantir que ela passe sem colisões.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a velocidade angular da roda. Sabemos que a roda gira a 2,5 rotações por segundo. A velocidade angular (ω) é dada por:
Então:
Passo 3
Agora, vamos determinar a distância entre os raios. Como a roda tem 8 raios, o espaçamento angular entre eles é:
Isso significa que cada raio está separado por 45 graus.
Passo 4
Para que a flecha não toque nos raios, ela precisa atravessar a roda no tempo em que um raio percorre o ângulo entre dois raios adjacentes. Vamos calcular esse tempo.
Sabemos que:
Então, a flecha precisa atravessar a roda em menos de
segundos.
Passo 5
A flecha tem 24 cm de comprimento e precisa atravessar a roda (que tem 60 cm de diâmetro) em menos de
segundos. A velocidade mínima da flecha (
) é dada por:
Passo 6
Portanto, a velocidade mínima que a flecha deve ter é de 1200 cm/s para atravessar a roda sem tocar nos raios.
Resposta
A velocidade mínima que a flecha pode ter é de 1200 cm/s.
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a) Con q velocidd dere ser vancuens
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We use Eq. 2-2 and Eq. 2-3. During a time
when the velocity remains a positive constant, speed is equivalent to velocity, and distance is equivalent to displacement, with
.
(e) The position at is subtracted from the position at
to find the displacement
.
(e) The position at
We use Eq. 2-2 and Eq. 2-3. During a time
when the velocity remains a positive constant, speed is equivalent to velocity, and distance is equivalent to displacement, with
.
(f) The position at is subtracted from the position at
to give the displacement
. Eq. 2-2, then, leads to
(f) The position at
We use Eq. 2-2 for average velocity and Eq. 2-4 for instantaneous velocity, and work with distances in centimeters and times in seconds.
(a) We plug into the given equation for for
and
and obtain
21.75 cm and
, respectively. The average velocity during the time interval
is
(a) We plug into the given equation for
which yields
.