Na rodoviária de uma cidade partem 3 linhas de ônibus. A tabela mostra a frequência de partida de cada linha: LINHA A – A CADA 8 MIN, LINHA B – A CADA 12 MIN, LINHA C – A CADA 18 MIN. As linhas A, B e C iniciam suas atividades todos os dias às 5 horas. Das 5 horas até às 11 horas, inclusive, o número de vezes em que, pelo menos, duas dessas linhas partiram ao mesmo tempo é:
a) 20
b) 21
c) 22
d) 23
e) 24
a) 20
b) 21
c) 22
d) 23
e) 24
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está rolando aqui. Temos três linhas de ônibus que partem da rodoviária com frequências diferentes: a linha A sai a cada 8 minutos, a B a cada 12 minutos e a C a cada 18 minutos. Todas começam às 5 horas da manhã. A questão é descobrir, entre 5 horas e 11 horas, quantas vezes pelo menos duas dessas linhas saem ao mesmo tempo. Para resolver isso, vamos usar princípios de múltiplos e o mínimo múltiplo comum (MMC).
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o intervalo de tempo que estamos analisando. De 5 horas até 11 horas são 6 horas. Convertendo isso para minutos: 6 horas × 60 minutos = 360 minutos. Então, temos 360 minutos para verificar quantas vezes ocorre a partida simultânea.
Passo 3
Para descobrir quando duas ou mais linhas saem ao mesmo tempo, precisamos encontrar os momentos em que os intervalos de partida dessas linhas coincidem. Isso significa que precisamos calcular o MMC das frequências das linhas.
Passo 4
Vamos calcular o MMC das frequências das linhas A, B e C:
- Frequência da linha A: 8 minutos
- Frequência da linha B: 12 minutos
- Frequência da linha C: 18 minutos
Primeiro, fatoramos cada número:
- 8 = 2³
- 12 = 2² × 3
- 18 = 2 × 3²
O MMC é o produto dos maiores expoentes de todos os fatores:
MMC = 2³ × 3² = 8 × 9 = 72 minutos
MMC = 2³ × 3² = 8 × 9 = 72 minutos
Então, todas as três linhas saem juntas a cada 72 minutos.
Passo 5
Agora, vamos ver quantas vezes isso acontece em 360 minutos:
Dividimos 360 por 72: 360 ÷ 72 = 5 vezes
Dividimos 360 por 72: 360 ÷ 72 = 5 vezes
Então, as três linhas saem juntas 5 vezes nesse período.
Passo 6
Além disso, precisamos contar também as vezes em que apenas duas linhas saem ao mesmo tempo, sem a terceira. Para isso, calculamos o MMC de cada par de linhas:
- MMC(A, B) = MMC(8, 12) = 24 minutos
- MMC(A, C) = MMC(8, 18) = 72 minutos
- MMC(B, C) = MMC(12, 18) = 36 minutos
Passo 7
Vamos calcular quantas vezes cada par coincide em 360 minutos:
- Linha A e B: 360 ÷ 24 = 15 vezes
- Linha A e C: 360 ÷ 72 = 5 vezes
- Linha B e C: 360 ÷ 36 = 10 vezes
Passo 8
Agora, somamos todas as coincidências de pares:
15 (A e B) + 5 (A e C) + 10 (B e C) = 30 vezes
15 (A e B) + 5 (A e C) + 10 (B e C) = 30 vezes
Mas lembrando que as três linhas saem juntas 5 vezes, e essas são contadas em cada par. Para evitar contar essas 5 vezes a mais, subtraímos 2 vezes esse valor (já que cada coincidência das três linhas foi contada 3 vezes):
30 - 2×5 = 20 vezes
Resposta
20