Na rodoviária de uma cidade partem 3 linhas de ônibus. A tabela mostra a frequência de partida de cada linha: LINHA A – A CADA 8 MIN, LINHA B – A CADA 12 MIN, LINHA C – A CADA 18 MIN. As linhas A, B e C iniciam suas atividades todos os dias às 5 horas. Das 5 horas até às 11 horas, inclusive, o número de vezes em que, pelo menos, duas dessas linhas partiram ao mesmo tempo é:
a) 20
b) 21
c) 22
d) 23
e) 24

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está rolando aqui. Temos três linhas de ônibus que partem da rodoviária com frequências diferentes: a linha A sai a cada 8 minutos, a B a cada 12 minutos e a C a cada 18 minutos. Todas começam às 5 horas da manhã. A questão é descobrir, entre 5 horas e 11 horas, quantas vezes pelo menos duas dessas linhas saem ao mesmo tempo. Para resolver isso, vamos usar princípios de múltiplos e o mínimo múltiplo comum (MMC).

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o intervalo de tempo que estamos analisando. De 5 horas até 11 horas são 6 horas. Convertendo isso para minutos: 6 horas × 60 minutos = 360 minutos. Então, temos 360 minutos para verificar quantas vezes ocorre a partida simultânea.

Passo 3

Para descobrir quando duas ou mais linhas saem ao mesmo tempo, precisamos encontrar os momentos em que os intervalos de partida dessas linhas coincidem. Isso significa que precisamos calcular o MMC das frequências das linhas.

Passo 4

Vamos calcular o MMC das frequências das linhas A, B e C:
  • Frequência da linha A: 8 minutos
  • Frequência da linha B: 12 minutos
  • Frequência da linha C: 18 minutos
Primeiro, fatoramos cada número:
  • 8 = 2³
  • 12 = 2² × 3
  • 18 = 2 × 3²
O MMC é o produto dos maiores expoentes de todos os fatores:
MMC = 2³ × 3² = 8 × 9 = 72 minutos
Então, todas as três linhas saem juntas a cada 72 minutos.

Passo 5

Agora, vamos ver quantas vezes isso acontece em 360 minutos:
Dividimos 360 por 72: 360 ÷ 72 = 5 vezes
Então, as três linhas saem juntas 5 vezes nesse período.

Passo 6

Além disso, precisamos contar também as vezes em que apenas duas linhas saem ao mesmo tempo, sem a terceira. Para isso, calculamos o MMC de cada par de linhas:
  • MMC(A, B) = MMC(8, 12) = 24 minutos
  • MMC(A, C) = MMC(8, 18) = 72 minutos
  • MMC(B, C) = MMC(12, 18) = 36 minutos

Passo 7

Vamos calcular quantas vezes cada par coincide em 360 minutos:
  • Linha A e B: 360 ÷ 24 = 15 vezes
  • Linha A e C: 360 ÷ 72 = 5 vezes
  • Linha B e C: 360 ÷ 36 = 10 vezes

Passo 8

Agora, somamos todas as coincidências de pares:
15 (A e B) + 5 (A e C) + 10 (B e C) = 30 vezes
Mas lembrando que as três linhas saem juntas 5 vezes, e essas são contadas em cada par. Para evitar contar essas 5 vezes a mais, subtraímos 2 vezes esse valor (já que cada coincidência das três linhas foi contada 3 vezes):
30 - 2×5 = 20 vezes

Resposta

20

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