Ronaldinho Gaúcho cobra uma falta a uma distância de 30 m do gol. Seu chute, em direção ao gol, sai com uma velocidade 20 m / s fazendo um ângulo de 30^circ com o campo. A barreira está posicionada a 9 m de distância e tem 1,8 m de altura. O goleiro faz um golpe de vista mas não vai na bola. Sabendo que o travessão está a 2,3 m de altura, verifique se:
(a) A bola bate na barreira.
(b) A bola entra no gol.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo! O Ronaldinho está chutando uma falta a 30 metros do gol. O chute sai com uma velocidade de 20 m/s formando um ângulo de 30 graus com o chão. Tem uma barreira (aquele monte de jogadores) a 9 metros de distância, com 1,8 metros de altura. O goleiro não vai na bola, e o travessão do gol está a 2,3 metros de altura.
Conteúdo que vamos usar: Movimento de projéteis (física) para calcular a altura da bola em diferentes pontos.
O que precisamos: Fórmulas de movimento horizontal e vertical, trigonometria para decompor a velocidade inicial.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a velocidade inicial da bola em suas componentes horizontal e vertical usando trigonometria.
  • Velocidade horizontal ( vx = v cdot cos(theta) = 20 cdot cos(30^circ) ):
    vy = v cdot sin(theta) = 20 cdot sin(30^circ)
  • Velocidade vertical ( cos(30^circ) approx 0,866 e sin(30^circ) = 0,5 ):
    vx = 20 cdot 0,866 = 17,32 , m/s
Sabemos que:
vy = 20 cdot 0,5 = 10 , m/s
Então:

Passo 3

Agora, vamos calcular o tempo que a bola leva para chegar à barreira a 9 metros.
A fórmula para o movimento horizontal é:
x = vx cdot t
Onde:
  • t = xvx = 917,32 approx 0,52, segundos
Resolvendo para :

Passo 4

Com o tempo calculado, vamos descobrir a altura da bola nesse instante usando a fórmula do movimento vertical:
y = vy cdot t - 12 g t^2
Onde:
  • y = 10 cdot 0,52 - 12 cdot 9,8 cdot (0,52)^2
  • y = 5,2 - 12 cdot 9,8 cdot 0,2704
  • y = 5,2 - 1,326 approx 3,874, m
Substituindo:

Passo 5

Agora, vamos comparar a altura da bola com a altura da barreira.
  • Altura da bola na barreira: aproximadamente 3,874 metros
  • Altura da barreira: 1,8 metros
Como 3,874 m > 1,8 m, a bola não bate na barreira.

Passo 6

Vamos agora verificar se a bola entra no gol. Para isso, precisamos calcular a altura da bola quando ela chega ao gol, que está a 30 metros de distância.
Primeiro, calculamos o tempo para percorrer 30 metros:
t = xvx = 3017,32 approx 1,73, segundos
Agora, usamos a fórmula do movimento vertical novamente:
y = vy cdot t - 12 g t^2
y = 10 cdot 1,73 - 12 cdot 9,8 cdot (1,73)^2
y = 17,3 - 12 cdot 9,8 cdot 2,9929
y = 17,3 - 14,68 approx 2,62, m

Resposta

(a) A bola não bate na barreira, já que a altura da bola na barreira é aproximadamente 3,874 metros, maior que os 1,8 metros da barreira.
(b) A bola não entra no gol, pois ao chegar no gol, a altura da bola é de aproximadamente 2,62 metros, que é maior que o travessão de 2,3 metros.

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