Um parque de diversões possui um jogo de tiro ao alvo. O alvo está inicialmente pendurado a uma altura h em relação ao nível do disparador e a uma distância horizontal x0 dele. O mecanismo de disparo permite tanto ajustar o ângulo theta em relação à horizontal quanto a velocidade de saída v0 do projétil. No momento em que o disparo é feito, um mecanismo solta o alvo que inicia um movimento de queda livre.
(a) Considerando que o módulo da velocidade de saída do projétil seja suficiente para que ele possa se deslocar ao menos a distância x0 antes que retorne a sua altura inicial, determine qual deve ser o ângulo theta para que o projétil sempre atinja o alvo em queda.
(b) Qual deve ser o valor mínimo do módulo da velocidade de saída do projétil para que ele consiga atingir o alvo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de física juntos! O enunciado fala sobre um jogo de tiro ao alvo num parque de diversões. A gente precisa descobrir, na parte (a), qual o ângulo que o projétil deve ter para sempre acertar o alvo que está caindo livremente. E na parte (b), qual a velocidade mínima que o projétil precisa ter para conseguir acertar esse alvo. Vamos usar conceitos de movimento uniformemente variado e cinemática para resolver isso. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o movimento do projétil. Quando você dispara um projétil com uma certa velocidade e ângulo, ele segue uma trajetória conhecida como trajetória parabólica. Essa trajetória pode ser decomposta em movimentos horizontal e vertical independentes.

Passo 3

Vamos definir as equações do movimento para o projétil:
  • Movimento Horizontal:
    A distância horizontal percorrida pelo projétil é dada por:
    x = v0 cdot cos(theta) cdot t
    Onde:
    • y = h + v0 cdot sin(theta) cdot t - 12 g t^2 é a distância horizontal (que queremos que seja )
    • é a velocidade inicial
    • é o ângulo de lançamento
    • é o tempo de voo
  • Movimento Vertical:
    A posição vertical do projétil é dada por:
    Onde:
    • é a altura do projétil em relação ao nível do disparador
    • é a altura inicial do alvo
    • é a aceleração da gravidade ( )

Passo 4

Agora, vamos considerar o movimento do alvo. O alvo está em queda livre, então sua posição vertical em qualquer instante yalvo = h - 12 g t^2 é:

Passo 5

Para que o projétil atinja o alvo, as posições verticais do projétil e do alvo devem ser iguais no mesmo instante h + v0 cdot sin(theta) cdot t - 12 g t^2 = h - 12 g t^2 . Ou seja:
v0 cdot sin(theta) cdot t = 0
Simplificando a equação:
v0 cdot sin(theta) = 0
Isso implica que:
Mas queremos que o projétil atinja o alvo em movimento, então essa equação não faz sentido direto. Vamos reavaliar nossa abordagem.

Passo 6

Vamos analisar o tempo que o projétil leva para percorrer a distância horizontal t = x0v0 cdot cos(theta) .
Da equação do movimento horizontal:

Passo 7

Substituindo esse tempo na equação do movimento vertical do projétil:
y = h + v0 cdot sin(theta) cdot ( x0v0 cdot cos(theta) ) - 12 g ( x0v0 cdot cos(theta) )^2
Simplificando:
y = h + x0 cdot tan(theta) - g x0^22 v0^2 cos^2(theta)

Passo 8

Igualando a posição vertical do projétil com a do alvo:
h + x0 cdot tan(theta) - g x0^22 v0^2 cos^2(theta) = h - 12 g t^2
Mas como o alvo está caindo no mesmo tempo , podemos simplificar e perceber que para o projétil sempre atingir o alvo, o ângulo deve ser tal que a trajetória do projétil acompanhe a queda do alvo.

Passo 9

Para que isso aconteça independentemente da altura inicial e da distância , o ângulo deve ser de 45 graus. Isso ocorre porque, nesse ângulo, a componente horizontal e vertical da velocidade são iguais, otimizando o alcance máximo do projétil.

Passo 10

Portanto, o ângulo ideal para que o projétil sempre acerte o alvo em queda é:
theta = 45^circ

Resposta

(a) O ângulo deve ser de para que o projétil sempre atinja o alvo em queda.

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