Um parque de diversões possui um jogo de tiro ao alvo. O alvo está inicialmente pendurado a uma altura
em relação ao nível do disparador e a uma distância horizontal
dele. O mecanismo de disparo permite tanto ajustar o ângulo
em relação à horizontal quanto a velocidade de saída
do projétil. No momento em que o disparo é feito, um mecanismo solta o alvo que inicia um movimento de queda livre.
(a) Considerando que o módulo da velocidade de saída do projétil seja suficiente para que ele possa se deslocar ao menos a distância
antes que retorne a sua altura inicial, determine qual deve ser o ângulo
para que o projétil sempre atinja o alvo em queda.
(b) Qual deve ser o valor mínimo do módulo da velocidade de saída do projétil para que ele consiga atingir o alvo.
(a) Considerando que o módulo da velocidade de saída do projétil seja suficiente para que ele possa se deslocar ao menos a distância
(b) Qual deve ser o valor mínimo do módulo da velocidade de saída do projétil para que ele consiga atingir o alvo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de física juntos! O enunciado fala sobre um jogo de tiro ao alvo num parque de diversões. A gente precisa descobrir, na parte (a), qual o ângulo que o projétil deve ter para sempre acertar o alvo que está caindo livremente. E na parte (b), qual a velocidade mínima que o projétil precisa ter para conseguir acertar esse alvo. Vamos usar conceitos de movimento uniformemente variado e cinemática para resolver isso. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o movimento do projétil. Quando você dispara um projétil com uma certa velocidade e ângulo, ele segue uma trajetória conhecida como trajetória parabólica. Essa trajetória pode ser decomposta em movimentos horizontal e vertical independentes.
Passo 3
Vamos definir as equações do movimento para o projétil:
-
Movimento Horizontal:A distância horizontal percorrida pelo projétil é dada por:Onde:
-
é a distância horizontal (que queremos que seja ) -
é a velocidade inicial -
é o ângulo de lançamento -
é o tempo de voo
-
-
Movimento Vertical:A posição vertical do projétil é dada por:Onde:
-
é a altura do projétil em relação ao nível do disparador -
é a altura inicial do alvo -
é a aceleração da gravidade ( )
-
Passo 4
Agora, vamos considerar o movimento do alvo. O alvo está em queda livre, então sua posição vertical em qualquer instante
é:
Passo 5
Para que o projétil atinja o alvo, as posições verticais do projétil e do alvo devem ser iguais no mesmo instante
. Ou seja:
Simplificando a equação:
Isso implica que:
Mas queremos que o projétil atinja o alvo em movimento, então essa equação não faz sentido direto. Vamos reavaliar nossa abordagem.
Passo 6
Vamos analisar o tempo que o projétil leva para percorrer a distância horizontal
.
Da equação do movimento horizontal:
Passo 7
Substituindo esse tempo na equação do movimento vertical do projétil:
Simplificando:
Passo 8
Igualando a posição vertical do projétil com a do alvo:
Mas como o alvo está caindo no mesmo tempo
, podemos simplificar e perceber que para o projétil sempre atingir o alvo, o ângulo
deve ser tal que a trajetória do projétil acompanhe a queda do alvo.
Passo 9
Para que isso aconteça independentemente da altura inicial
e da distância
, o ângulo
deve ser de 45 graus. Isso ocorre porque, nesse ângulo, a componente horizontal e vertical da velocidade são iguais, otimizando o alcance máximo do projétil.
Passo 10
Portanto, o ângulo ideal para que o projétil sempre acerte o alvo em queda é:
Resposta
(a) O ângulo
deve ser de
para que o projétil sempre atinja o alvo em queda.
Exercícios relacionados
Uma partícula parte da origem com velocidade inicial
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. No instante de tempo em que a partícula atingir sua coordenada
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(a) O vetor posição.
(b) O vetor velocidade.
(a) O vetor posição.
(b) O vetor velocidade.
Um objeto parte da origem em
com velocidade
e se desloca no plano
com aceleração constante
. No instante de tempo em que a coordenada
da partícula for 50 m , determine:
(a) A coordenada do objeto.
(b) O módulo da velocidade do objeto.
(a) A coordenada
(b) O módulo da velocidade do objeto.
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(a) A bola bate na barreira.
(b) A bola entra no gol.
(a) A bola bate na barreira.
(b) A bola entra no gol.
(b) Explique o que é calor específico e capacidade térmica e suas respectivas grandezas.