Uma partícula parte da origem com velocidade inicial v0=(3 i) m / s e uma aceleração constante a= (-1 i-5 j) m / s^2. No instante de tempo em que a partícula atingir sua coordenada x máxima determine:
(a) O vetor posição.
(b) O vetor velocidade.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma partícula que parte da origem com uma velocidade inicial de e uma aceleração constante de . Nosso objetivo é descobrir, no momento em que a coordenada atinge seu valor máximo, qual é o vetor posição e o vetor velocidade da partícula. Para isso, vamos usar as equações do movimento com aceleração constante.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o instante de tempo em que a coordenada vx(t) = v0x + ax t é máxima. Isso acontece quando a velocidade na direção 0 = 3 + (-1) t é zero, porque a aceleração está diminuindo a velocidade nessa direção.
A equação da velocidade na direção t = 3 , segundos é:
Substituindo os valores:
Resolvendo para :

Passo 3

Agora que sabemos que o tempo em que x(t) = x0 + v0x t + 12 ax t^2 é máximo é x(3) = 0 + 3 times 3 + 12 (-1) times 3^2 = 9 - 92 = 92 , m , vamos calcular a posição da partícula nesse instante. A equação da posição na direção é:
Como a partícula parte da origem, . Então:

Passo 4

Também precisamos encontrar a coordenada y(t) = y0 + v0y t + 12 ay t^2 da partícula no instante y(3) = 0 + 0 times 3 + 12 (-5) times 3^2 = -452 , m . A equação da posição na direção é:
Aqui, porque não temos componente inicial na direção , e . Então:

Passo 5

Agora vamos calcular o vetor posição r = x i + y j = ( 92 ) i + ( -452 ) j , m no instante :

Passo 6

Por fim, vamos determinar o vetor velocidade vy(t) = v0y + ay t = 0 + (-5) times 3 = -15 , m/s no instante v = 0 i -15 j , m/s . Já sabemos que . A velocidade na direção é:
Então, o vetor velocidade é:

Resposta

(a) O vetor posição é .
(b) O vetor velocidade é .

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(a) A coordenada y do objeto.
(b) O módulo da velocidade do objeto.
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(b) A bola entra no gol.