Rotacional e Divergente.

Passo 1

Entendendo o Enunciado
Hoje vamos falar sobre Rotacional e Divergente, que são conceitos fundamentais no estudo de campos vetoriais em cálculo vetorial. Para resolver problemas envolvendo rotacional e divergente, precisamos conhecer as definições e as fórmulas matemáticas que os representam. Vamos entender o que cada um significa e como calcular a partir de um campo vetorial dado.

Passo 2

O que é Divergente?
A divergente de um campo vetorial mede a “taxa de expansão” ou “compacidade” do campo em um ponto específico. Em termos simples, ela nos diz se o campo está “saindo” ou “entrando” em um ponto.
Matematicamente, para um campo vetorial tridimensional , a divergente é calculada como:

Passo 3

O que é Rotacional?
O rotacional de um campo vetorial, por outro lado, mede a tendência do campo de “girar” em torno de um ponto. É uma medida de circulação local do campo.
Para o mesmo campo vetorial , o rotacional é dado por:

Passo 4

Exemplo Prático
Vamos aplicar esses conceitos a um campo vetorial específico. Suponha que temos o campo:
Vamos calcular a divergente e o rotacional desse campo.

Passo 5

Calculando a Divergente
Aplicando a fórmula da divergente:
Calculando cada derivada parcial:
Somando os resultados:

Passo 6

Calculando o Rotacional
Aplicando a fórmula do rotacional:
Calculando cada termo:
ãá
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Substituindo na expressão do rotacional:

Resposta

Para o campo vetorial :
  • Divergente:
  • Rotacional:

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