Rotacional e Divergente.
Passo 1
Entendendo o Enunciado
Hoje vamos falar sobre Rotacional e Divergente, que são conceitos fundamentais no estudo de campos vetoriais em cálculo vetorial. Para resolver problemas envolvendo rotacional e divergente, precisamos conhecer as definições e as fórmulas matemáticas que os representam. Vamos entender o que cada um significa e como calcular a partir de um campo vetorial dado.
Passo 2
O que é Divergente?
A divergente de um campo vetorial mede a “taxa de expansão” ou “compacidade” do campo em um ponto específico. Em termos simples, ela nos diz se o campo está “saindo” ou “entrando” em um ponto.
Matematicamente, para um campo vetorial tridimensional
, a divergente é calculada como:
Passo 3
O que é Rotacional?
O rotacional de um campo vetorial, por outro lado, mede a tendência do campo de “girar” em torno de um ponto. É uma medida de circulação local do campo.
Para o mesmo campo vetorial
, o rotacional é dado por:
Passo 4
Exemplo Prático
Vamos aplicar esses conceitos a um campo vetorial específico. Suponha que temos o campo:
Vamos calcular a divergente e o rotacional desse campo.
Passo 5
Calculando a Divergente
Aplicando a fórmula da divergente:
Calculando cada derivada parcial:
Somando os resultados:
Passo 6
Calculando o Rotacional
Aplicando a fórmula do rotacional:
Calculando cada termo:
Substituindo na expressão do rotacional:
Resposta
Para o campo vetorial
:
- Divergente:
- Rotacional:
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