Teorema fundamental das integrais de linha.

Passo 1

Beleza, vamos falar sobre o Teorema Fundamental das Integrais de Linha. Esse teorema faz parte do cálculo integral multivariado e nos ajuda a calcular integrais de linha de maneira mais fácil, especialmente quando o campo vetorial é conservativo. Para entender e resolver problemas relacionados a esse teorema, precisamos saber sobre campos vetoriais, gradientes e integrais de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um campo vetorial. Imagine que em cada ponto do espaço há uma seta que indica uma direção e uma magnitude; isso é um campo vetorial. Por exemplo, o campo de velocidade de um fluido em escoamento.

Passo 3

Agora, um campo vetorial é chamado de conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de uma função escalar. Ou seja, existe uma função tal que:
Isso significa que o campo não tem “circulação” e está associado a uma energia potencial.

Passo 4

O Teorema Fundamental das Integrais de Linha nos diz que, se o campo vetorial é conservativo, então a integral de linha de ao longo de uma curva que vai de um ponto a um ponto depende apenas dos valores de em e , e não do caminho escolhido. Matematicamente:

Passo 5

Vamos entender como aplicar isso na prática. Suponha que queremos calcular a integral de linha de de a .
Primeiro, verificamos se é conservativo. Para campos em duas dimensões, uma condição é que:
Calculando:
Como são iguais, é conservativo.

Passo 6

Encontramos uma função potencial tal que . Integrando em relação a :
Derivando em relação a :
Então, a função potencial é:

Passo 7

Aplicamos o teorema:
Calculando:

Resposta

A integral de linha de de a é 7.5.

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