Teorema fundamental das integrais de linha.
Passo 1
Beleza, vamos falar sobre o Teorema Fundamental das Integrais de Linha. Esse teorema faz parte do cálculo integral multivariado e nos ajuda a calcular integrais de linha de maneira mais fácil, especialmente quando o campo vetorial é conservativo. Para entender e resolver problemas relacionados a esse teorema, precisamos saber sobre campos vetoriais, gradientes e integrais de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um campo vetorial. Imagine que em cada ponto do espaço há uma seta que indica uma direção e uma magnitude; isso é um campo vetorial. Por exemplo, o campo de velocidade de um fluido em escoamento.
Passo 3
Agora, um campo vetorial é chamado de conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de uma função escalar. Ou seja, existe uma função
tal que:
Isso significa que o campo não tem “circulação” e está associado a uma energia potencial.
Passo 4
O Teorema Fundamental das Integrais de Linha nos diz que, se o campo vetorial
é conservativo, então a integral de linha de
ao longo de uma curva
que vai de um ponto
a um ponto
depende apenas dos valores de
em
e
, e não do caminho escolhido. Matematicamente:
Passo 5
Vamos entender como aplicar isso na prática. Suponha que queremos calcular a integral de linha de
de
a
.
Primeiro, verificamos se
é conservativo. Para campos em duas dimensões, uma condição é que:
Calculando:
Como são iguais,
é conservativo.
Passo 6
Encontramos uma função potencial
tal que
. Integrando
em relação a
:
Derivando em relação a
:
Então, a função potencial é:
Passo 7
Aplicamos o teorema:
Calculando:
Resposta
A integral de linha de
de
a
é 7.5.
Exercícios relacionados
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