Vetor tangente e reta tangente a uma curva parametrizada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre vetor tangente e reta tangente a uma curva parametrizada. Isso faz parte da matéria de Cálculo Diferencial, mais especificamente sobre curvas no espaço. Para resolver, vamos precisar saber como parametrizar uma curva, calcular derivadas para achar o vetor tangente e usar isso para encontrar a equação da reta tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma curva parametrizada. Imagine que você tem uma curva no espaço definida por uma função que depende de um parâmetro, geralmente representado por
. Por exemplo:
Aqui,
,
e
são funções que descrevem as coordenadas da curva em termos de
.
Passo 3
Agora, para encontrar o vetor tangente à curva em um ponto específico, precisamos calcular a derivada da função vetorial em relação a
. A derivada
nos dá o vetor tangente naquele ponto:
Esse vetor aponta na direção da curva e indica como a curva está se movendo naquele ponto.
Passo 4
Com o vetor tangente em mãos, podemos encontrar a reta tangente à curva no ponto desejado. Primeiro, identificamos o ponto na curva substituindo o valor de
na função
:
Depois, usamos o vetor tangente
como direção da reta. A equação paramétrica da reta tangente fica assim:
Onde
é um parâmetro que varia ao longo da reta.
Resposta
Seguindo os passos, encontramos que o vetor tangente à curva no ponto
é:
E a reta tangente à curva nesse ponto é dada por:
Ou, em termos das coordenadas:
Pronto! Assim você consegue achar o vetor tangente e a reta tangente para qualquer curva parametrizada.
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