Vetor tangente e reta tangente a uma curva parametrizada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre vetor tangente e reta tangente a uma curva parametrizada. Isso faz parte da matéria de Cálculo Diferencial, mais especificamente sobre curvas no espaço. Para resolver, vamos precisar saber como parametrizar uma curva, calcular derivadas para achar o vetor tangente e usar isso para encontrar a equação da reta tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma curva parametrizada. Imagine que você tem uma curva no espaço definida por uma função que depende de um parâmetro, geralmente representado por . Por exemplo:
Aqui, , e são funções que descrevem as coordenadas da curva em termos de .

Passo 3

Agora, para encontrar o vetor tangente à curva em um ponto específico, precisamos calcular a derivada da função vetorial em relação a . A derivada nos dá o vetor tangente naquele ponto:
Esse vetor aponta na direção da curva e indica como a curva está se movendo naquele ponto.

Passo 4

Com o vetor tangente em mãos, podemos encontrar a reta tangente à curva no ponto desejado. Primeiro, identificamos o ponto na curva substituindo o valor de na função :
Depois, usamos o vetor tangente como direção da reta. A equação paramétrica da reta tangente fica assim:
Onde é um parâmetro que varia ao longo da reta.

Resposta

Seguindo os passos, encontramos que o vetor tangente à curva no ponto é:
E a reta tangente à curva nesse ponto é dada por:
Ou, em termos das coordenadas:
Pronto! Assim você consegue achar o vetor tangente e a reta tangente para qualquer curva parametrizada.

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