A rough method of scaling up cylindrical liquid-mixing tanks and impellers is to keep the power input per unit volume constant. If it is desired to increase the volume of a properly baffled liquid mixer by a ratio of 3 , by what ratio must the tank diameter and
impeller speed be changed? The mixers are geometrically similar, and both operate in the impeller speed be changed? The mixers are geometrically similar, and both operate in the
complete turbulent region. The power supplied to the mixing prelles complete turbulent region. The power supplied to the mixing propeller, P, may be assumed to be a function of the propeller diameter, D, its angular velocity omega, and the liquid density rho.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre aumentar o volume de um tanque de mistura de líquidos em 3 vezes, mantendo a potência por unidade de volume constante. A gente vai precisar usar conceitos de escala geométrica e como a potência está relacionada ao diâmetro do tanque e à velocidade do impulsor. Para resolver, vamos usar fórmulas que ligam potência, diâmetro, velocidade e densidade do líquido.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que quando aumentamos o volume do tanque em uma razão de 3, isso afeta todas as dimensões lineares do tanque. Como o tanque é cilindrico, o volume está relacionado ao diâmetro por . Se o volume aumenta em 3 vezes, então o diâmetro também deve aumentar.

Passo 3

Vamos chamar a razão de aumento do diâmetro de V2V1 = lambda^3 = 3 . Sabemos que:
lambda = raiz[3]3 approx 1,442
Para encontrar :
Então, o diâmetro do tanque deve aumentar em uma razão de aproximadamente 1,442.

Passo 4

Agora, vamos ver como a velocidade do impulsor P propto D^5 omega^3 rho deve mudar. A potência PV = constante fornecida é função do diâmetro, velocidade e densidade, e para regime turbulento completo, a potência está relacionada por:
D^5 omega^3D^3 = D^2 omega^3 = constante
Como queremos manter a potência por unidade de volume constante, temos:
Substituindo e :

Passo 5

Vamos chamar a nova velocidade do impulsor de lambda^2 omega2^3 = omega1^3 e a original de omega2 = omega1 lambda^-2/3 . Então:
omega2 = omega1 (3^-1/3)^2/3 = omega1 3^-2/9
Resolvendo para omega2 approx omega1 times 0,812 :
Substituindo :
Aproximadamente:
Então, a velocidade do impulsor deve ser multiplicada por cerca de 0,812.

Resposta

Para aumentar o volume do tanque em 3 vezes mantendo a potência por unidade de volume constante, o diâmetro do tanque deve aumentar numa razão de aproximadamente 1,442 e a velocidade do impulsor deve ser multiplicada por cerca de 0,812.

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