Resolver os sistemas lineares pelo método de Gauss-Seidel, com precisão epsilon=0,05. Reordenar o sistema se necessário. Usar duas casas decimais.
lx1-0,5 x2+0,1 x3=-1,2 0,2 x1+x2-0,3 x3=0,5 0,3 x1-0,1 x2-3 x3=1,5

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que o exercício pede. Temos um sistema de equações lineares com três variáveis ( x1, x2, x3) e queremos resolvê-lo usando o método de Gauss-Seidel com uma precisão de epsilon = 0,05. O método de Gauss-Seidel é uma maneira iterativa de encontrar soluções aproximadas para sistemas de equações. Para isso, às vezes precisamos reordenar o sistema para facilitar as iterações. Também, vamos arredondar nossos resultados para duas casas decimais.

Passo 2

Vamos verificar se o sistema precisa ser reordenado para aplicar o método de Gauss-Seidel de forma eficiente. Idealmente, queremos que a diagonal principal dos coeficientes seja dominante, ou seja, o coeficiente de cada variável na sua própria equação seja maior em módulo do que a soma dos outros coeficientes na mesma equação.
Analisando o sistema original:
x1 - 0,5 x2 + 0,1 x3 = -1,2 0,2 x1 + x2 - 0,3 x3 = 0,5 0,3 x1 - 0,1 x2 - 3 x3 = 1,5
Vamos checar a dominância da diagonal:
  • Para a primeira equação: |1| > |0,5| + |0,1| 1 > 0,6 ✔️
  • Para a segunda equação: |1| > |0,2| + |0,3| 1 > 0,5 ✔️
  • Para a terceira equação: | -3 | > |0,3| + |0,1| 3 > 0,4 ✔️
Como todas as diagonais são dominantes, não precisamos reordenar o sistema.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o método de Gauss-Seidel. Esse método começa com uma estimativa inicial para as variáveis e, em cada iteração, atualiza o valor de cada variável usando os valores mais recentes disponíveis.
As fórmulas para atualizar as variáveis são:
x1^(k+1) = -1,2 + 0,5 x2^(k) - 0,1 x3^(k) 1 x2^(k+1) = 0,5 - 0,2 x1^(k+1) + 0,3 x3^(k) 1 x3^(k+1) = 1,5 - 0,3 x1^(k+1) + 0,1 x2^(k+1) -3
Vamos começar com uma estimativa inicial. Uma escolha comum é iniciar com todas as variáveis iguais a zero:
x1^(0) = 0, x2^(0) = 0, x3^(0) = 0

Passo 4

Primeira Iteração ( k=0 para k=1):
Atualizamos x1, x2, e x3 usando as fórmulas:
x1^(1) = -1,2 + 0,5 times 0 - 0,1 times 0 1 = -1,2
x2^(1) = 0,5 - 0,2 times (-1,2) + 0,3 times 0 1 = 0,5 + 0,24 = 0,74
x3^(1) = 1,5 - 0,3 times (-1,2) + 0,1 times 0,74 -3 = 1,5 + 0,36 + 0,074-3 = 1,934-3 approx -0,64

Passo 5

Segunda Iteração ( k=1 para k=2):
Usando os valores recém-calculados:
x1^(2) = -1,2 + 0,5 times 0,74 - 0,1 times (-0,64) 1 = -1,2 + 0,37 + 0,064 = -0,766
x2^(2) = 0,5 - 0,2 times (-0,766) + 0,3 times (-0,64) 1 = 0,5 + 0,1532 - 0,192 = 0,4612
x3^(2) = 1,5 - 0,3 times (-0,766) + 0,1 times 0,4612 -3 = 1,5 + 0,2298 + 0,04612-3 = 1,7759-3 approx -0,59

Passo 6

Terceira Iteração ( k=2 para k=3):
x1^(3) = -1,2 + 0,5 times 0,4612 - 0,1 times (-0,59) 1 = -1,2 + 0,2306 + 0,059 = -0,9104
x2^(3) = 0,5 - 0,2 times (-0,9104) + 0,3 times (-0,59) 1 = 0,5 + 0,1821 - 0,177 = 0,5051
x3^(3) = 1,5 - 0,3 times (-0,9104) + 0,1 times 0,5051 -3 = 1,5 + 0,2731 + 0,0505-3 = 1,8236-3 approx -0,61

Passo 7

Quarta Iteração ( k=3 para k=4):
x1^(4) = -1,2 + 0,5 times 0,5051 - 0,1 times (-0,61) 1 = -1,2 + 0,25255 + 0,061 = -0,88645
x2^(4) = 0,5 - 0,2 times (-0,88645) + 0,3 times (-0,61) 1 = 0,5 + 0,17729 - 0,183 = 0,4943
x3^(4) = 1,5 - 0,3 times (-0,88645) + 0,1 times 0,4943 -3 = 1,5 + 0,265935 + 0,04943-3 = 1,8154-3 approx -0,6051

Passo 8

Vamos verificar se a precisão alcançada é suficiente. Calculamos a diferença entre os valores das iterações anteriores e atuais:
Para x1:
|x1^(4) - x1^(3)| = |-0,88645 - (-0,9104)| = 0,02395 < 0,05
Para x2:
|x2^(4) - x2^(3)| = |0,4943 - 0,5051| = 0,0108 < 0,05
Para x3:
|x3^(4) - x3^(3)| = |-0,6051 - (-0,61)| = 0,0049 < 0,05
Como todas as diferenças são menores que epsilon = 0,05, podemos parar as iterações.

Resposta

A solução aproximada do sistema pelo método de Gauss-Seidel com precisão epsilon = 0,05 é:
x1 approx -0,89, x2 approx 0,49, x3 approx -0,61

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