Resolver os sistemas lineares pelo método de Gauss-Seidel, com precisão . Reordenar o sistema se necessário. Usar duas casas decimais.
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que o exercício pede. Temos um sistema de equações lineares com três variáveis (, , ) e queremos resolvê-lo usando o método de Gauss-Seidel com uma precisão de . O método de Gauss-Seidel é uma maneira iterativa de encontrar soluções aproximadas para sistemas de equações. Para isso, às vezes precisamos reordenar o sistema para facilitar as iterações. Também, vamos arredondar nossos resultados para duas casas decimais.
Passo 2
Vamos verificar se o sistema precisa ser reordenado para aplicar o método de Gauss-Seidel de forma eficiente. Idealmente, queremos que a diagonal principal dos coeficientes seja dominante, ou seja, o coeficiente de cada variável na sua própria equação seja maior em módulo do que a soma dos outros coeficientes na mesma equação.
Analisando o sistema original:
Vamos checar a dominância da diagonal:
Para a primeira equação: → ✔️
Para a segunda equação: → ✔️
Para a terceira equação: → ✔️
Como todas as diagonais são dominantes, não precisamos reordenar o sistema.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o método de Gauss-Seidel. Esse método começa com uma estimativa inicial para as variáveis e, em cada iteração, atualiza o valor de cada variável usando os valores mais recentes disponíveis.
As fórmulas para atualizar as variáveis são:
Vamos começar com uma estimativa inicial. Uma escolha comum é iniciar com todas as variáveis iguais a zero:
Passo 4
Primeira Iteração ( para ):
Atualizamos , , e usando as fórmulas:
Passo 5
Segunda Iteração ( para ):
Usando os valores recém-calculados:
Passo 6
Terceira Iteração ( para ):
Passo 7
Quarta Iteração ( para ):
Passo 8
Vamos verificar se a precisão alcançada é suficiente. Calculamos a diferença entre os valores das iterações anteriores e atuais:
Para :
Para :
Para :
Como todas as diferenças são menores que , podemos parar as iterações.
Resposta
A solução aproximada do sistema pelo método de Gauss-Seidel com precisão é: