Resolver os sistemas lineares pelo método de Gauss-Seidel, com precisão . Reordenar o sistema se necessário. Usar duas casas decimais.

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que o exercício pede. Temos um sistema de equações lineares com três variáveis ( , , ) e queremos resolvê-lo usando o método de Gauss-Seidel com uma precisão de . O método de Gauss-Seidel é uma maneira iterativa de encontrar soluções aproximadas para sistemas de equações. Para isso, às vezes precisamos reordenar o sistema para facilitar as iterações. Também, vamos arredondar nossos resultados para duas casas decimais.

Passo 2

Vamos verificar se o sistema precisa ser reordenado para aplicar o método de Gauss-Seidel de forma eficiente. Idealmente, queremos que a diagonal principal dos coeficientes seja dominante, ou seja, o coeficiente de cada variável na sua própria equação seja maior em módulo do que a soma dos outros coeficientes na mesma equação.
Analisando o sistema original:
Vamos checar a dominância da diagonal:
  • Para a primeira equação: ✔️
  • Para a segunda equação: ✔️
  • Para a terceira equação: ✔️
Como todas as diagonais são dominantes, não precisamos reordenar o sistema.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o método de Gauss-Seidel. Esse método começa com uma estimativa inicial para as variáveis e, em cada iteração, atualiza o valor de cada variável usando os valores mais recentes disponíveis.
As fórmulas para atualizar as variáveis são:
Vamos começar com uma estimativa inicial. Uma escolha comum é iniciar com todas as variáveis iguais a zero:

Passo 4

Primeira Iteração ( para ):
Atualizamos , , e usando as fórmulas:

Passo 5

Segunda Iteração ( para ):
Usando os valores recém-calculados:

Passo 6

Terceira Iteração ( para ):

Passo 7

Quarta Iteração ( para ):

Passo 8

Vamos verificar se a precisão alcançada é suficiente. Calculamos a diferença entre os valores das iterações anteriores e atuais:
Para :
Para :
Para :
Como todas as diferenças são menores que , podemos parar as iterações.

Resposta

A solução aproximada do sistema pelo método de Gauss-Seidel com precisão é:

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Resolver os sistemas lineares pelo método de Gauss-Seidel, com precisão . Reordenar o sistema se necessário. Usar duas casas decimais.
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impeller speed be changed? The mixers are geometrically similar, and both operate in the impeller speed be changed? The mixers are geometrically similar, and both operate in the
complete turbulent region. The power supplied to the mixing prelles complete turbulent region. The power supplied to the mixing propeller, , may be assumed to be a function of the propeller diameter, , its angular velocity , and the liquid density .