(iii) Represente a expressão que descreve o comportamento de R, as condições de contorno e diga se é uma equação diferencial ou integral
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me mandou uma equação que relaciona a taxa de reação $ \mathrm{r}{\mathrm{R}} $ com o volume $ \mathrm{V} $ e a concentração $ \mathrm{C}{\mathrm{R}} $. O conteúdo aqui envolve cinética química e equações diferenciais, então vamos precisar entender como essa equação descreve o comportamento da reação e identificar que tipo de equação estamos lidando.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar a equação que você me deu:
Aqui, $ \mathrm{r}{\mathrm{R}} $ é a taxa de reação, que nos diz quantas mols do reagente estão sendo consumidas por segundo. $ \mathrm{V} $ é o volume da reação, e $ \mathrm{C}{\mathrm{R}} $ é a concentração do reagente.
Passo 3
Para descrever o comportamento de $ \mathrm{R} $, precisamos relacionar essa taxa de reação com o tempo. Sabemos que a taxa de reação é a derivada da concentração em relação ao tempo:
O sinal negativo indica que a concentração do reagente está diminuindo com o tempo.
Passo 4
Agora, substituindo a expressão da taxa de reação que você forneceu na equação da derivada, temos:
Isso nos dá uma equação diferencial que relaciona a variação da concentração com o tempo.
Passo 5
Para resolver essa equação, precisamos das condições de contorno, ou seja, informações sobre a concentração inicial. Geralmente, sabemos a concentração de $ \mathrm{R} $ no tempo inicial ($ t = 0 $):
Essa condição nos ajuda a encontrar a solução específica da equação diferencial.
Passo 6
Agora, identificando o tipo de equação: como temos uma derivada da concentração em relação ao tempo igual a uma expressão que envolve a própria concentração, estamos lidando com uma equação diferencial ordinária de primeira ordem.
Resposta
A expressão que descreve o comportamento de $ \mathrm{R} $ é:
A condição de contorno é a concentração inicial de $ \mathrm{R} $ no tempo inicial:
E essa é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem.