Sabe-se que o comprimento de peças industriais, quando um processo está sob controle, segue uma distribuição Normal com média 10 cm e desvio padrão de 1,1 cm. Assuma que quando o processo está fora de controle estatístico o único parâmetro que se altera é a média, permanecendo o mesmo desvio padrão. Para determinar se em um determinado dia o processo está sob controle se selecionaram ao acaso 18 peças e mediram-se seus comprimentos.
b. Qual deve ser a conclusão ao nível de significância de 0,02, se a média amostral foi de 9,78 cm?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente sabe que o comprimento das peças industriais segue uma distribuição Normal com média de 10 cm e desvio padrão de 1,1 , cm quando o processo está sob controle. Quando o processo sai do controle, apenas a média muda, mas o desvio padrão continua igual.
A pergunta aqui é: Dado um nível de significância de 0,02 (ou seja, 2%), e sabendo que a média amostral de 18 peças foi de 9,78 cm, qual devemos concluir sobre o controle do processo?
Para resolver isso, vamos precisar usar teste de hipótese para a média de uma distribuição Normal quando conhecemos o desvio padrão.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as hipóteses que vamos testar.
  • Hipótese nula ( H0): O processo está sob controle. Isso significa que a média verdadeira é igual a 10 cm.
    H0: mu = 10 , cm
  • Hipótese alternativa ( H1): O processo não está sob controle. Isso quer dizer que a média verdadeira é diferente de 10 cm.
    H1: mu neq 10 , cm

Passo 3

Agora, vamos calcular o valor do teste estatístico. Como conhecemos o desvio padrão da população e a amostra é relativamente grande ( n = 18), vamos usar o teste Z.
A fórmula para o valor Z é:
Z = barx - mu0sigmaraizn
Onde:
  • barx é a média amostral (9,78 cm)
  • mu0 é a média hipotética (10 cm)
  • sigma é o desvio padrão (1,1 cm)
  • n é o tamanho da amostra (18)
Vamos substituir os valores:
Z = 9,78 - 101,1raiz18

Passo 4

Vamos calcular o denominador primeiro:
raiz18 approx 4,2426
1,14,2426 approx 0,2595
Agora, o numerador:
9,78 - 10 = -0,22
Então,
Z = -0,220,2595 approx -0,848

Passo 5

Com o valor de Z calculado, vamos comparar com o valor crítico para o nível de significância de 0,02 em um teste bicaudal (já que H1 é mu neq 10).
Para um nível de significância de 0,02, cada cauda tem 0,01. Consultando a tabela Z, o valor crítico para 0,01 em cada cauda é aproximadamente pm 2,33.

Passo 6

Agora, vamos comparar nosso valor Z com os valores críticos:
-2,33 < -0,848 < 2,33
Como o valor de Z calculado ( -0,848) está dentro dos valores críticos ( -2,33 e 2,33), não rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

Com base no nível de significância de 0,02 e na média amostral de 9,78 cm, não há evidências suficientes para concluir que o processo está fora de controle. Ou seja, o processo continua sob controle.

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