Sabe-se que o comprimento de peças industriais, quando um processo está sob controle, segue uma distribuição Normal com média 10 cm e desvio padrão de
. Assuma que quando o processo está fora de controle estatístico o único parâmetro que se altera é a média, permanecendo o mesmo desvio padrão. Para determinar se em um determinado dia o processo está sob controle se selecionaram ao acaso 18 peças e mediram-se seus comprimentos.
b. Qual deve ser a conclusão ao nível de significância de 0,02, se a média amostral foi de 9,78 cm?
b. Qual deve ser a conclusão ao nível de significância de 0,02, se a média amostral foi de 9,78 cm?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente sabe que o comprimento das peças industriais segue uma distribuição Normal com média de 10 cm e desvio padrão de
quando o processo está sob controle. Quando o processo sai do controle, apenas a média muda, mas o desvio padrão continua igual.
A pergunta aqui é: Dado um nível de significância de 0,02 (ou seja, 2%), e sabendo que a média amostral de 18 peças foi de 9,78 cm, qual devemos concluir sobre o controle do processo?
Para resolver isso, vamos precisar usar teste de hipótese para a média de uma distribuição Normal quando conhecemos o desvio padrão.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as hipóteses que vamos testar.
-
Hipótese nula (
): O processo está sob controle. Isso significa que a média verdadeira é igual a 10 cm. -
Hipótese alternativa (
): O processo não está sob controle. Isso quer dizer que a média verdadeira é diferente de 10 cm.
Passo 3
Agora, vamos calcular o valor do teste estatístico. Como conhecemos o desvio padrão da população e a amostra é relativamente grande (
), vamos usar o teste Z.
A fórmula para o valor Z é:
Onde:
-
é a média amostral (9,78 cm) -
é a média hipotética (10 cm) -
é o desvio padrão (1,1 cm) -
é o tamanho da amostra (18)
Vamos substituir os valores:
Passo 4
Vamos calcular o denominador primeiro:
Agora, o numerador:
Então,
Passo 5
Com o valor de Z calculado, vamos comparar com o valor crítico para o nível de significância de 0,02 em um teste bicaudal (já que
é
).
Para um nível de significância de 0,02, cada cauda tem 0,01. Consultando a tabela Z, o valor crítico para 0,01 em cada cauda é aproximadamente
.
Passo 6
Agora, vamos comparar nosso valor Z com os valores críticos:
Como o valor de Z calculado (
) está dentro dos valores críticos (
e
), não rejeitamos a hipótese nula.
Resposta
Com base no nível de significância de 0,02 e na média amostral de 9,78 cm, não há evidências suficientes para concluir que o processo está fora de controle. Ou seja, o processo continua sob controle.