Sabe-se que a existência de raízes de uma equação do segundo grau está condicionada ao valor do discriminante (¿). Assim, dada a função f(x) = -x² - 4x + (K - 10), assinale a alternativa que contém o valor de K, de tal forma que a função possua duas raízes reais e distintas. Selecione uma alternativa:
a)K < 6.
b)K > 6.
c)K = 6.
d)K ≥ 6.
e)K ≤ 6.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar o valor de $ K $ na função quadrática $ f(x) = -x² - 4x + (K - 10) $ de modo que a equação $ f(x) = 0 $ tenha duas raízes reais e distintas. Para isso, vamos usar o conceito de discriminante das equações do segundo grau, que nos ajuda a determinar a quantidade de raízes reais que a equação possui.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função $ f(x) $ na forma padrão da equação do segundo grau: $ ax² + bx + c = 0 $.
Nossa função é:
f(x) ²
Comparando com $ ax² + bx + c $, temos:
ax² + bx + c = 0

Passo 3

O discriminante ($ \Delta $) de uma equação do segundo grau é dado por:
De²
Ele nos indica o número de raízes reais:
  • Se $ \Delta > 0 $: duas raízes reais e distintas.
  • Se $ \Delta = 0 $: duas raízes reais e iguais.
  • Se $ \Delta < 0 $: nenhuma raiz real.
Como queremos que a função tenha duas raízes reais e distintas, precisamos que $ \Delta > 0 $.

Passo 4

Vamos calcular o discriminante usando os valores de $ a $, $ b $ e $ c $ que encontramos:
a ²
b
c
De

Passo 5

Para que $ \Delta > 0 $:
De 0
Vamos resolver essa inequação:
4K - 24 > 0
4K > 24

Resposta

A alternativa correta é b) K > 6.

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