Sabe-se que quando um fluido escoa sobre uma placa plana a uma temperatura diferente desta placa, calor é trocado entre o fluido e a superfície sólida. As correlações para o número de Nusselt local são apresentadas a seguir, para os diferentes regimes de escoamento (laminar e turbulento) e condições de contorno na superfície da placa (fluxo de calor ou temperatura constantes). Determine como ficariam essas correlações se quiséssemos determinar o coeficiente convectivo médio ao longo de uma placa de comprimento L.
a. Regime laminar com temperatura constante na superfície:
N ux=0,332 Rex^1 / 2 Pr^1 / 3
b. Regime laminar com fluxo de calor constante na superfície:
N ux=0,453 R ex^1 / 2 Pr^1 / 3
c. Regime turbulento com temperatura constante na superfície:
N ux=0,0296 R ex^4 / 5 Pr^1 / 3
d. Regime turbulento com fluxo de calor constante na superfície:
N ux=0,0308 Rex^4 / 5 Pr^1 / 3

Passo 1

Então, o exercício fala sobre como o calor é transferido entre um fluido que está passando por uma placa e a própria placa, que está a uma temperatura diferente. A gente precisa usar as fórmulas que relacionam o número de Nusselt para diferentes tipos de escoamento (laminar e turbulento) e condições na superfície da placa (temperatura constante ou fluxo de calor constante). O objetivo é descobrir como essas fórmulas mudam quando queremos encontrar o coeficiente convectivo médio ao longo de uma placa com comprimento . Para resolver, vamos precisar entender o que é o número de Nusselt, os números de Reynolds ( ) e Prandtl ( ), e como calcular o coeficiente convectivo médio.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o número de Nusselt ( Nu = hLk ). Ele é uma medida de quão eficiente é a transferência de calor convectiva comparada à transferência de calor por condução. Basicamente, quanto maior o h = Nu cdot kL , mais eficiente é a convecção.
A fórmula geral do número de Nusselt é:
onde:
  • é o coeficiente de transferência de calor convectivo,
  • é o comprimento característico (neste caso, ),
  • é a condutividade térmica do fluido.
Para encontrar , podemos rearranjar a fórmula:

Passo 3

Como queremos o coeficiente convectivo médio ao longo da placa, precisamos calcular a média de hmédio = 1L integral0^L h(x) , dx de hmédio = 1L integral0^L Nux cdot kx , dx até . Isso envolve integrar ao longo do comprimento da placa e depois dividir por :
é
Substituindo a expressão de :
é

Passo 4

Agora, vamos olhar para as diferentes correlações do número de Nusselt dadas no enunciado. Cada uma delas está em termos de Nux = 0,332 cdot Rex^1/2 cdot Pr^1/3 (número de Reynolds local) e (número de Prandtl). Vamos reescrevê-las para entender como varia com .
Por exemplo, para o regime laminar com temperatura constante:
Aqui, , onde é a densidade, é a velocidade do fluido, é a posição ao longo da placa, e é a viscosidade dinâmica.

Passo 5

Vamos focar no caso a) Regime laminar com temperatura constante na superfície. Substituindo Nux = 0,332 ( rho u xmu )^1/2 Pr^1/3 na fórmula do hmédio = 1L integral0^L 0,332 ( rho u xmu )^1/2 Pr^1/3 cdot kx , dx :
Agora, substituímos na expressão de é:
é

Passo 6

Simplificando a expressão dentro da integral:
hmédio = 1L cdot 0,332 cdot rho^1/2 u^1/2 mu^-1/2 Pr^1/3 k integral0^L x^-1/2 , dx é
A integral de integral0^L x^-1/2 , dx = 2 raizL de 0 a é:

Passo 7

Substituindo o resultado da integral:
hmédio = 1L cdot 0,332 cdot rho^1/2 u^1/2 mu^-1/2 Pr^1/3 k cdot 2 raizL é
hmédio = 0,332 cdot 2 cdot rho^1/2 u^1/2 mu^-1/2 Pr^1/3 k cdot raizLL é
Simplificando hmédio = 0,664 cdot rho^1/2 u^1/2 mu^-1/2 Pr^1/3 k cdot L^-1/2 :
é

Passo 8

Rearranjando os termos:
hmédio = 0,664 cdot kL^1/2 cdot rho^1/2 u^1/2 mu^-1/2 Pr^1/3 é
Sabemos que e , mas para simplificar, mantemos a expressão em termos de , , , e .

Resposta

Para o regime laminar com temperatura constante na superfície, o coeficiente convectivo médio ao longo de uma placa de comprimento hmédio = 0,664 cdot rho^1/2 cdot u^1/2 cdot mu^-1/2 cdot Pr^1/3 cdot k cdot L^-1/2 fica assim:
é

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