Em um dado se verifica P(1)=P(3)=P(5)=a e que P(2)=P(4)=P(6)=b. Lançamos o dado e chamamos de evento A o número obtido é maior ou igual a 4. Calcule a e b para que P(A)=512.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um dado com probabilidades diferentes para seus números. Especificamente, os números 1, 3 e 5 têm a mesma probabilidade $ a $, e os números 2, 4 e 6 têm a mesma probabilidade $ b $. O evento $ A $ acontece quando tiramos um número maior ou igual a 4. Nosso objetivo é encontrar os valores de $ a $ e $ b $ de modo que a probabilidade de $ A $ ser verdadeira seja $ \frac{5}{12} $. Para isso, vamos usar conceitos de probabilidade e equações básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a soma das probabilidades de todos os eventos possíveis deve ser igual a 1. Como temos três números com probabilidade $ a $ e três com $ b $, podemos escrever:
a
Isso simplifica para:
b

Passo 3

Agora, vamos focar no evento $ A $, que ocorre quando tiramos um número maior ou igual a 4. No dado, isso significa os números 4, 5 e 6. A probabilidade de $ A $ é então a soma das probabilidades desses três números:
A
Sabemos que $ P(A) = \frac{5}{12} $, então:
A

Passo 4

Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
a + b = 13 a + 2b = 512
Vamos resolver esse sistema. Primeiro, subtraímos a primeira equação da segunda:
(a + 2b) - (a + b) = 512 - 13
Simplificando:
b = 512 - 412 = 112

Passo 5

Agora que sabemos que $ b = \frac{1}{12} $, substituímos esse valor na primeira equação para encontrar $ a $:
b = 112
Subtraindo $ \frac{1}{12} $ de ambos os lados:
a

Resposta

Os valores são $ a = \frac{1}{4} $ e $ b = \frac{1}{12} $.

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