Sabe-se que o número de passageiros por veículos do tipo van em determinada rodovia segue aproximadamente uma distribuição binomial com parâmetros n=10 e p=0,3.
Qual a probabilidade de que, em determinado dia, a quinta van que passar por esta rodovia seja a segunda a transportar mais do que 3 pessoas?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre vans que passam por uma rodovia e o número de passageiros nesses veículos segue uma distribuição binomial com parâmetros e . O que queremos descobrir é a probabilidade de que, em um dia específico, a quinta van que passar seja a segunda a transportar mais de 3 pessoas. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre distribuição binomial e distribuição negativa binomial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma distribuição binomial. Ela serve para calcular a probabilidade de ocorrer um certo número de sucessos em um número fixo de tentativas, onde cada tentativa tem a mesma probabilidade de sucesso. No nosso caso, cada van que passa é uma tentativa, e o “sucesso” é ela transportar mais de 3 pessoas.

Passo 3

Precisamos calcular a probabilidade de uma van transportar mais de 3 pessoas. Como a distribuição é binomial com P(X > 3) = 1 - P(X <= 3) e , a probabilidade de transportar mais de 3 pessoas é:
Onde é a soma das probabilidades de transportar 0, 1, 2 ou 3 pessoas.

Passo 4

Vamos calcular P(X <= 3) = sumk=0^3 binom10k (0,3)^k (0,7)^10 - k :
binom100 (0,3)^0 (0,7)^10 = 1 times 1 times 0,0282475249 = 0,0282475249
Vamos calcular cada termo:
  • Para binom101 (0,3)^1 (0,7)^9 = 10 times 0,3 times 0,0403536073 = 0,1210608219 :
binom102 (0,3)^2 (0,7)^8 = 45 times 0,09 times 0,05764801 = 0,23347457205
  • Para binom103 (0,3)^3 (0,7)^7 = 120 times 0,027 times 0,0823543 = 0,266827932 :
P(X <= 3) = 0,0282475249 + 0,1210608219 + 0,23347457205 + 0,266827932 = 0,64961085
  • Para :
  • Para :
Somando tudo:

Passo 5

Agora, calculamos P(X > 3) = 1 - P(X <= 3) = 1 - 0,64961085 = 0,35038915 :
Então, a probabilidade de uma van transportar mais de 3 pessoas é aproximadamente 0,3504.

Passo 6

Agora, queremos a probabilidade de que a quinta van seja a segunda a transportar mais de 3 pessoas. Isso segue uma distribuição negativa binomial, que calcula a probabilidade de que o r-ésimo sucesso ocorra na k-ésima tentativa.
A fórmula é:
P = binomk-1r-1 p^r (1 - p)^k - r
Onde:
  • (segunda van com mais de 3 pessoas)
  • (quinta van)
  • (probabilidade de uma van transportar mais de 3 pessoas)

Passo 7

Aplicando os valores na fórmula:
P = binom5-12-1 (0,3504)^2 (1 - 0,3504)^5 - 2
Calculando o coeficiente binomial:
binom41 = 4
Agora, substituindo:
P = 4 times (0,3504)^2 times (0,6496)^3
Calculando cada parte:
(0,3504)^2 = 0,1228
(0,6496)^3 = 0,2733
Multiplicando tudo:
P = 4 times 0,1228 times 0,2733 approx 4 times 0,0336 = 0,1344

Resposta

A probabilidade de que a quinta van que passar por essa rodovia seja a segunda a transportar mais de 3 pessoas é aproximadamente 13,44%.

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