Sabe-se que o número de passageiros por veículos do tipo van em determinada rodovia segue aproximadamente uma distribuição binomial com parâmetros
e
.
Qual a probabilidade de que, em determinado dia, a quinta van que passar por esta rodovia seja a segunda a transportar mais do que 3 pessoas?
Qual a probabilidade de que, em determinado dia, a quinta van que passar por esta rodovia seja a segunda a transportar mais do que 3 pessoas?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre vans que passam por uma rodovia e o número de passageiros nesses veículos segue uma distribuição binomial com parâmetros
e
. O que queremos descobrir é a probabilidade de que, em um dia específico, a quinta van que passar seja a segunda a transportar mais de 3 pessoas. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre distribuição binomial e distribuição negativa binomial.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma distribuição binomial. Ela serve para calcular a probabilidade de ocorrer um certo número de sucessos em um número fixo de tentativas, onde cada tentativa tem a mesma probabilidade de sucesso. No nosso caso, cada van que passa é uma tentativa, e o “sucesso” é ela transportar mais de 3 pessoas.
Passo 3
Precisamos calcular a probabilidade de uma van transportar mais de 3 pessoas. Como a distribuição é binomial com
e
, a probabilidade de transportar mais de 3 pessoas é:
Onde
é a soma das probabilidades de transportar 0, 1, 2 ou 3 pessoas.
Passo 4
Vamos calcular
:
Vamos calcular cada termo:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Somando tudo:
Passo 5
Agora, calculamos
:
Então, a probabilidade de uma van transportar mais de 3 pessoas é aproximadamente 0,3504.
Passo 6
Agora, queremos a probabilidade de que a quinta van seja a segunda a transportar mais de 3 pessoas. Isso segue uma distribuição negativa binomial, que calcula a probabilidade de que o r-ésimo sucesso ocorra na k-ésima tentativa.
A fórmula é:
Onde:
-
(segunda van com mais de 3 pessoas) -
(quinta van) -
(probabilidade de uma van transportar mais de 3 pessoas)
Passo 7
Aplicando os valores na fórmula:
Calculando o coeficiente binomial:
Agora, substituindo:
Calculando cada parte:
Multiplicando tudo:
Resposta
A probabilidade de que a quinta van que passar por essa rodovia seja a segunda a transportar mais de 3 pessoas é aproximadamente 13,44%.