Sabe-se que o número de passageiros por veículos do tipo van em determinada rodovia segue aproximadamente uma distribuição binomial com parâmetros e .
Qual a probabilidade de que, em determinado dia, a quinta van que passar por esta rodovia seja a segunda a transportar mais do que 3 pessoas?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre vans que passam por uma rodovia e o número de passageiros nesses veículos segue uma distribuição binomial com parâmetros e . O que queremos descobrir é a probabilidade de que, em um dia específico, a quinta van que passar seja a segunda a transportar mais de 3 pessoas. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre distribuição binomial e distribuição negativa binomial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma distribuição binomial. Ela serve para calcular a probabilidade de ocorrer um certo número de sucessos em um número fixo de tentativas, onde cada tentativa tem a mesma probabilidade de sucesso. No nosso caso, cada van que passa é uma tentativa, e o “sucesso” é ela transportar mais de 3 pessoas.

Passo 3

Precisamos calcular a probabilidade de uma van transportar mais de 3 pessoas. Como a distribuição é binomial com e , a probabilidade de transportar mais de 3 pessoas é:
Onde é a soma das probabilidades de transportar 0, 1, 2 ou 3 pessoas.

Passo 4

Vamos calcular :
Vamos calcular cada termo:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Somando tudo:

Passo 5

Agora, calculamos :
Então, a probabilidade de uma van transportar mais de 3 pessoas é aproximadamente 0,3504.

Passo 6

Agora, queremos a probabilidade de que a quinta van seja a segunda a transportar mais de 3 pessoas. Isso segue uma distribuição negativa binomial, que calcula a probabilidade de que o r-ésimo sucesso ocorra na k-ésima tentativa.
A fórmula é:
Onde:
  • (segunda van com mais de 3 pessoas)
  • (quinta van)
  • (probabilidade de uma van transportar mais de 3 pessoas)

Passo 7

Aplicando os valores na fórmula:
Calculando o coeficiente binomial:
Agora, substituindo:
Calculando cada parte:
Multiplicando tudo:

Resposta

A probabilidade de que a quinta van que passar por essa rodovia seja a segunda a transportar mais de 3 pessoas é aproximadamente 13,44%.

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