Numa cidade, é selecionada uma amostra de 60 adultos e a esses indivíduos é pedido para opinarem se são a favor ou contra determinado projeto. Como resultado obtido, observou-se 40 a favor. Se na realidade as opiniões pró e contra são igualmente divididas, qual a probabilidade de ter obtido tal resultado?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma amostra de 60 adultos que foram perguntados se são a favor ou contra um projeto. Desses, 40 disseram que são a favor. A gente precisa calcular a probabilidade de obter esse resultado, assumindo que na real, metade das pessoas são a favor e metade são contra. Para resolver, vamos usar o conceito de probabilidade binomial.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a probabilidade binomial. Ela é usada quando temos uma sequência de experimentos independentes, cada um com dois resultados possíveis: sucesso ou fracasso. No nosso caso, “a favor” é sucesso e “contra” é fracasso. A fórmula para calcular a probabilidade de exatamente
sucessos em
tentativas é:
Passo 3
Vamos identificar os valores para nossa situação:
-
(total de adultos na amostra) -
(número de adultos a favor) -
(probabilidade de ser a favor, já que estão igualmente divididos)
Passo 4
Agora, vamos calcular o coeficiente binomial
, que representa o número de maneiras de escolher 40 sucessos entre 60 tentativas. A fórmula é:
Calculando isso, temos um número muito grande, mas para fins de probabilidade, vamos manter na forma combinatória.
Passo 5
Em seguida, calculamos
:
Isso simplifica para:
Passo 6
Agora, juntamos tudo na fórmula da probabilidade binomial:
Passo 7
Para obter um valor numérico, precisamos calcular
e
. Usando uma calculadora ou software de matemática:
Passo 8
Dividindo os dois valores:
Resposta
A probabilidade de obter 40 adultos a favor em uma amostra de 60, assumindo que na verdade as opiniões estão igualmente divididas, é aproximadamente 0,1193%.