Numa cidade, é selecionada uma amostra de 60 adultos e a esses indivíduos é pedido para opinarem se são a favor ou contra determinado projeto. Como resultado obtido, observou-se 40 a favor. Se na realidade as opiniões pró e contra são igualmente divididas, qual a probabilidade de ter obtido tal resultado?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma amostra de 60 adultos que foram perguntados se são a favor ou contra um projeto. Desses, 40 disseram que são a favor. A gente precisa calcular a probabilidade de obter esse resultado, assumindo que na real, metade das pessoas são a favor e metade são contra. Para resolver, vamos usar o conceito de probabilidade binomial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a probabilidade binomial. Ela é usada quando temos uma sequência de experimentos independentes, cada um com dois resultados possíveis: sucesso ou fracasso. No nosso caso, “a favor” é sucesso e “contra” é fracasso. A fórmula para calcular a probabilidade de exatamente P(k) = binomnk times p^k times (1-p)^n-k sucessos em tentativas é:

Passo 3

Vamos identificar os valores para nossa situação:
  • (total de adultos na amostra)
  • (número de adultos a favor)
  • (probabilidade de ser a favor, já que estão igualmente divididos)

Passo 4

Agora, vamos calcular o coeficiente binomial binom6040 = 60!40! times (60-40)! , que representa o número de maneiras de escolher 40 sucessos entre 60 tentativas. A fórmula é:
Calculando isso, temos um número muito grande, mas para fins de probabilidade, vamos manter na forma combinatória.

Passo 5

Em seguida, calculamos 0.5^40 times 0.5^20 = 0.5^60 :
0.5^60 = 12^60
Isso simplifica para:

Passo 6

Agora, juntamos tudo na fórmula da probabilidade binomial:
P(40) = binom6040 times 12^60

Passo 7

Para obter um valor numérico, precisamos calcular binom6040 approx 1.378 times 10^15 e 2^60 approx 1.155 times 10^18 . Usando uma calculadora ou software de matemática:

Passo 8

Dividindo os dois valores:
P(40) approx 1.378 times 10^151.155 times 10^18 approx 0.001193

Resposta

A probabilidade de obter 40 adultos a favor em uma amostra de 60, assumindo que na verdade as opiniões estão igualmente divididas, é aproximadamente 0,1193%.

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