Sabe-se que o número de passageiros por veículos do tipo van em determinada rodovia segue aproximadamente uma distribuição binomial com parâmetros
e
.
A taxa de pedágio nesta rodovia é cobrada da seguinte maneira: se o veículo transporta uma pessoa apenas (só o motorista), é cobrado
; se o veículo tem 2 ou 3 ocupantes,
; e se tiver mais do que 3 ocupantes,
. Calcular a arrecadação média diária, sabendo-se que, em média, passam 300 veículos por dia neste pedágio.
A taxa de pedágio nesta rodovia é cobrada da seguinte maneira: se o veículo transporta uma pessoa apenas (só o motorista), é cobrado
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! O enunciado fala sobre o número de passageiros em vans que passam por um pedágio, que segue uma distribuição binomial com parâmetros
e
. A gente precisa calcular quanto, em média, o pedágio arrecada por dia, sabendo que passam 300 veículos diariamente. Para isso, vamos precisar entender a distribuição binomial e como calcular a expectativa de receita com base nas diferentes taxas de pedágio.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a distribuição binomial. Ela nos ajuda a calcular a probabilidade de ter um certo número de “sucessos” em
tentativas, sendo cada tentativa independente e com probabilidade
de sucesso. No nosso caso, um “sucesso” é ter um passageiro adicional além do motorista. Então,
representa o número de passageiros extras na van, e
.
Passo 3
Agora, precisamos traduzir o número de passageiros para as tarifas do pedágio. O enunciado diz:
- Se tiver só 1 pessoa (apenas o motorista), tarifa = R$ 6,00.
- Se tiver 2 ou 3 pessoas, tarifa = R$ 4,00.
- Se tiver mais de 3 pessoas, tarifa = R$ 2,00.
Como
é o número de passageiros extras, o total de ocupantes na van é
. Vamos definir as categorias:
-
pessoa: -
ou pessoas: ou -
pessoas:
Passo 4
Vamos calcular a probabilidade de cada categoria usando a fórmula da distribuição binomial:
Onde
é o coeficiente binomial. Precisamos de:
Passo 5
Calculando cada probabilidade:
Passo 6
Agora, vamos calcular a receita esperada por veículo usando as tarifas e as probabilidades:
Substituindo os valores:
Passo 7
Finalmente, para achar a arrecadação média diária, multiplicamos a receita por veículo pelo número de veículos que passam por dia:
Resposta
A arrecadação média diária é de aproximadamente R$846,62.