Sabe-se que o número de passageiros por veículos do tipo van em determinada rodovia segue aproximadamente uma distribuição binomial com parâmetros e .
A taxa de pedágio nesta rodovia é cobrada da seguinte maneira: se o veículo transporta uma pessoa apenas (só o motorista), é cobrado ; se o veículo tem 2 ou 3 ocupantes, ; e se tiver mais do que 3 ocupantes, . Calcular a arrecadação média diária, sabendo-se que, em média, passam 300 veículos por dia neste pedágio.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! O enunciado fala sobre o número de passageiros em vans que passam por um pedágio, que segue uma distribuição binomial com parâmetros e . A gente precisa calcular quanto, em média, o pedágio arrecada por dia, sabendo que passam 300 veículos diariamente. Para isso, vamos precisar entender a distribuição binomial e como calcular a expectativa de receita com base nas diferentes taxas de pedágio.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a distribuição binomial. Ela nos ajuda a calcular a probabilidade de ter um certo número de “sucessos” em tentativas, sendo cada tentativa independente e com probabilidade de sucesso. No nosso caso, um “sucesso” é ter um passageiro adicional além do motorista. Então, representa o número de passageiros extras na van, e .

Passo 3

Agora, precisamos traduzir o número de passageiros para as tarifas do pedágio. O enunciado diz:
  • Se tiver só 1 pessoa (apenas o motorista), tarifa = R$ 6,00.
  • Se tiver 2 ou 3 pessoas, tarifa = R$ 4,00.
  • Se tiver mais de 3 pessoas, tarifa = R$ 2,00.
Como é o número de passageiros extras, o total de ocupantes na van é . Vamos definir as categorias:
  • pessoa:
  • ou pessoas: ou
  • pessoas:

Passo 4

Vamos calcular a probabilidade de cada categoria usando a fórmula da distribuição binomial:
Onde é o coeficiente binomial. Precisamos de:

Passo 5

Calculando cada probabilidade:

Passo 6

Agora, vamos calcular a receita esperada por veículo usando as tarifas e as probabilidades:
í
Substituindo os valores:

Passo 7

Finalmente, para achar a arrecadação média diária, multiplicamos a receita por veículo pelo número de veículos que passam por dia:
çãáí

Resposta

A arrecadação média diária é de aproximadamente R$846,62.

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