Sabe-se que o número de passageiros por veículos do tipo van em determinada rodovia segue aproximadamente uma distribuição binomial com parâmetros n=10 e p=0,3.
A taxa de pedágio nesta rodovia é cobrada da seguinte maneira: se o veículo transporta uma pessoa apenas (só o motorista), é cobrado R ; se o veículo tem 2 ou 3 ocupantes, ; se o veículo tem 2 ou 3 ocupantes, ; e se tiver mais do que 3 ocupantes, 4,00. Calcular a arrecadação média diária, sabendo-se que, em média, passam 300 veículos por dia neste pedágio.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! O enunciado fala sobre o número de passageiros em vans que passam por um pedágio, que segue uma distribuição binomial com parâmetros e . A gente precisa calcular quanto, em média, o pedágio arrecada por dia, sabendo que passam 300 veículos diariamente. Para isso, vamos precisar entender a distribuição binomial e como calcular a expectativa de receita com base nas diferentes taxas de pedágio.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a distribuição binomial. Ela nos ajuda a calcular a probabilidade de ter um certo número de “sucessos” em tentativas, sendo cada tentativa independente e com probabilidade de sucesso. No nosso caso, um “sucesso” é ter um passageiro adicional além do motorista. Então, representa o número de passageiros extras na van, e .

Passo 3

Agora, precisamos traduzir o número de passageiros para as tarifas do pedágio. O enunciado diz:
  • Se tiver só 1 pessoa (apenas o motorista), tarifa = R$ 6,00.
  • Se tiver 2 ou 3 pessoas, tarifa = R$ 4,00.
  • Se tiver mais de 3 pessoas, tarifa = R$ 2,00.
Como 6,00 - Se tiver 2 ou 3 pessoas, tarifa = R é o número de passageiros extras, o total de ocupantes na van é . Vamos definir as categorias:
  • pessoa:
  • ou pessoas: ou
  • pessoas:

Passo 4

Vamos calcular a probabilidade de cada categoria usando a fórmula da distribuição binomial:
P(X = k) = binomnk p^k (1-p)^n-k
Onde é o coeficiente binomial. Precisamos de:

Passo 5

Calculando cada probabilidade:
P(X = 0) = binom100 (0,3)^0 (0,7)^10 approx 0,0282475249
P(X = 1) = binom101 (0,3)^1 (0,7)^9 approx 0,121060821
P(X = 2) = binom102 (0,3)^2 (0,7)^8 approx 0,2334744405
P(X >= 3) = 1 - (P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)) approx 1 - (0,0282475249 + 0,121060821 + 0,2334744405) approx 0,617217213

Passo 6

Agora, vamos calcular a receita esperada por veículo usando as tarifas e as probabilidades:
Receita por veículo = R$6,00 times P(X=0) + R$4,00 times (P(X=1) + P(X=2)) + R$2,00 times P(X >= 3) í
Substituindo os valores:
= 6 times 0,0282475249 + 4 times (0,121060821 + 0,2334744405) + 2 times 0,617217213
= 0,1694851494 + 4 times 0,3545352615 + 1,234434426
= 0,1694851494 + 1,418141046 + 1,234434426
= 2,822060621

Passo 7

Finalmente, para achar a arrecadação média diária, multiplicamos a receita por veículo pelo número de veículos que passam por dia:
Arrecadação diária = Receita por veículo times 300 çãáí
= 2,822060621 times 300
= R$846,6181863

Resposta

A arrecadação média diária é de aproximadamente R$846,62.

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