Sabe-se que a proporção de sementes de soja com danos mecânicos provocados pelo beneficiamento é de p=0.18. Suspeita-se que a máquina em uso esteja desregulada, provocando um aumento na proporção de sementes com danos mecânicos. De 500 sementes inspecionadas observou-se que 130 estavam danificadas. Com os resultados desta inspeção, o que se pode concluir, há evidências de que a máquina esteja desregulada?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que fala sobre sementes de soja e danos mecânicos causados por uma máquina. A proporção esperada de sementes danificadas é p = 0.18. Mas a suspeita é que a máquina esteja desregulada e possa estar aumentando essa proporção. A gente inspecionou 500 sementes e viu que 130 estavam danificadas. Nosso objetivo é verificar, com base nesses dados, se realmente a máquina está desregulada aumentando a quantidade de danos.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as hipóteses para testar essa suspeita. A hipótese nula ( H0) é que a proporção de sementes danificadas é igual a 0.18, ou seja, a máquina está funcionando normalmente. A hipótese alternativa ( Ha) é que a proporção de sementes danificadas é maior que 0.18, indicando que a máquina está desregulada.
H0: p = 0.18 Ha: p > 0.18

Passo 3

Agora, vamos calcular a proporção amostral. A proporção amostral ( p) é o número de sementes danificadas dividido pelo total de sementes inspecionadas.
p = 130500 = 0.26

Passo 4

Para realizar o teste, vamos usar o teste z para proporções. Primeiro, precisamos calcular o erro padrão ( SE), que nos diz o quanto esperamos que a proporção amostral varie em torno da proporção esperada sob H0.
SE = raizp (1 - p)n = raiz0.18 times 0.82500 approx 0.0162

Passo 5

Com o erro padrão em mãos, calculamos o valor do teste z, que mede quantos desvios padrão a proporção amostral está acima da proporção esperada.
z = p - pSE = 0.26 - 0.180.0162 approx 4.94

Passo 6

Agora, precisamos encontrar o valor-p associado a esse z. O valor-p nos indica a probabilidade de observarmos uma proporção amostral tão extrema quanto a que vimos, assumindo que a hipótese nula é verdadeira. Como nosso z é 4.94, o valor-p será muito pequeno, próximo de 0.

Resposta

Como o valor-p é muito menor do que 0.05, a gente rejeita a hipótese nula. Ou seja, há evidências suficientes para concluir que a máquina está desregulada e aumentando a proporção de sementes danificadas.

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