Suponha que numa linha de produção a probabilidade de se obter uma peça defeituosa de 10 %. Toma-se uma amostra de 10 peças para serem inspecionadas, independentemente. Qual a probabilidade de se obter:
e) No máximo duas peças defeituosas?

Passo 1

Então, temos uma situação numa linha de produção onde a probabilidade de uma peça ser defeituosa é de 10%. Vamos inspecionar uma amostra de 10 peças, todas de forma independente. O conteúdo que vamos usar aqui é a Distribuição Binomial, que é perfeita para calcular probabilidades de eventos com dois resultados possíveis (como defeituoso ou não defeituoso) que ocorrem em um número fixo de tentativas. Vamos precisar entender como aplicar a fórmula da Distribuição Binomial para encontrar a probabilidade de ter no máximo duas peças defeituosas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa “no máximo duas peças defeituosas”. Isso quer dizer que podemos ter 0, 1 ou 2 peças defeituosas na nossa amostra de 10. Então, precisamos calcular a probabilidade de cada um desses casos e somá-las.

Passo 3

A Distribuição Binomial é dada pela fórmula:
P(X = k) = binomnk p^k (1-p)^n-k
Onde:
  • é o número total de tentativas (nesse caso, 10 peças).
  • é o número de sucessos desejados (número de peças defeituosas).
  • é a probabilidade de sucesso em cada tentativa (10% ou 0,1).
  • é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos escolher sucessos em tentativas.

Passo 4

Vamos calcular cada uma das probabilidades:
Para P(X = 0) = binom100 (0,1)^0 (0,9)^10 = 1 times 1 times 0,3486784401 = 0,3486784401 :
P(X = 1) = binom101 (0,1)^1 (0,9)^9 = 10 times 0,1 times 0,387420489 = 0,387420489
Para P(X = 2) = binom102 (0,1)^2 (0,9)^8 = 45 times 0,01 times 0,43046721 = 0,1937102445 :
Para :

Passo 5

Agora, somamos as três probabilidades para encontrar a probabilidade de ter no máximo duas peças defeituosas:
P(X <= 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)
P(X <= 2) = 0,3486784401 + 0,387420489 + 0,1937102445
P(X <= 2) = 0,9298091736

Resposta

A probabilidade de obter no máximo duas peças defeituosas na amostra de 10 peças é aproximadamente 92,98%.

Exercícios relacionados