Sabendo o ângulo entre os vetores u e v mede 30, então o ângulo formado entre os vetores -2u e 4v.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos diz que o ângulo entre os vetores u e v é de 30 graus. Precisamos descobrir qual é o ângulo formado entre os vetores -2u e 4v. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, especificamente sobre como os vetores se comportam quando são multiplicados por escalar e como isso afeta o ângulo entre eles.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que acontece quando multiplicamos um vetor por um número. Quando multiplicamos um vetor por um escalar (um número real), estamos esticando ou encurtando o vetor e, se o escalar for negativo, também invertendo a direção do vetor. Ou seja:
- Multiplicar u por -2 resulta no vetor -2u, que tem o dobro do tamanho de u e está na direção oposta.
- Multiplicar v por 4 resulta no vetor 4v, que tem quatro vezes o tamanho de v e na mesma direção.
Passo 3
Agora, vamos analisar como essas multiplicações afetam o ângulo entre os vetores. O ângulo entre dois vetores depende apenas da direção deles, não do seu tamanho ou de serem multiplicados por um escalar positivo ou negativo. Isso porque o ângulo é calculado usando o produto escalar e a norma dos vetores, que não são afetados pelo tamanho ou pela direção dos vetores de forma que altere o ângulo entre eles.
Passo 4
Para formalizar, a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores a e b é:
Onde:
- $ a \cdot b $ é o produto escalar dos vetores.
- $ |a| $ e $ |b| $ são as normas (comprimentos) dos vetores.
Quando multiplicamos os vetores por escalares, digamos k e m, a expressão fica:
Como podemos ver, os escalares k e m se cancelam, deixando o cosseno do ângulo inalterado.
Passo 5
Portanto, o ângulo entre -2u e 4v é o mesmo que o ângulo entre u e v, que é 30 graus.
Resposta
O ângulo entre os vetores -2u e 4v é de 30 graus.